Intégration et Probabilités

Exemple 2.1∫1. Supposons que µ = δ a avec a ∈ Ω. Alors, pour tout A ∈ A,2. Supposons Ω = R et µ = λ 1 . Alors, pour tout a,b ∈ R tels que a < b,∫1 [a,b] dλ 1 = λ 1 ([a,b]) = b − a.RΩ1 A dδ a = 1 A (a).L’intégrale de la fonction f = 1 [a,b] peut s’interpréter comme la longueur de l’intervalle [a,b] mais aussicomme l’aire entre la courbe représentative de la fonction f = 1 [a,b] et l’axe des abscisses.Considérons maintenant une fonction f étagée à valeurs dans [0,+∞], c’est-à-dire une fonction de la formef =n∑α i 1 Ai , (2.2)i=1avec n ∈ N ∗ , α i ∈ [0,+∞] pour tout i = 1,... ,n et (A i ) 1in ∈ A n . Lorsque l’on définit une notion d’intégrale,il est classique de faire en sorte que cette intégrale soit linéaire (comme l’est l’intégrale de Riemann). Parconséquent, il est naturel de vouloir définir l’intégrale de f par∫ n∑∫n∑f dµ = α i 1 Ai dµ = α i µ(A i ). (2.3)Ωi=1La valeur de (2.3) ne dépend pas de l’écriture (2.2), ce qui permet d’écrire la définition suivante.Définition 2.2 (Intégrale d’une fonction étagée positive)Soit f une fonction étagée à valeurs dans [0,+∞]. ÉcrivonsΩf =n∑α i 1 Ai ,i=1avec n ∈ N ∗ , α i ∈ [0,+∞] pour tout 1 i n et (A i ) 1in ∈ A n . L’intégrale de f sur Ω parrapport à µ est alors définie (sans ambiguïté) par∫Ωfdµ =i=1n∑α i µ(A i ).i=1Exemple 2.21. Soient a ∈ Ω et f =n∑α i 1 Ai avec n ∈ N ∗ , (A i ) 1in ∈ A n et (α i ) 1in ∈ [0,+∞] n . Alors,∫ n∑n∑f dδ a = α i δ a (A i ) = α i 1 Ai (a) = f(a).i=1Ωi=1i=12. Supposons Ω = R et µ = λ 1 . Considérons la fonction en escalier f = ∑ ni=1 α i1 [ti ,t i+1 [ avec n ∈ N ∗ , α i ∈ R +et t 1 ,...,t n+1 des réels tels que t 1 · · · t n+1 . Alors,∫ n∑f dλ 1 = α i (t i+1 − t i ).R26i=1