Intégration et Probabilités

Exemple 1.81. Toute application constante est mesurable quelles que soient les tribus A et A ′ .2. Supposons que Ω ′ = R et que A ′ = B(R). Considérons un ensemble A ⊂ Ω. Rappelons que la fonctionindicatrice 1 A de A est définie par { 1 si ω ∈ A1 A (ω) =0 si ω /∈ A.Alors, pour tout A ′ ∈ A ′ ,1 −1 (A A′ ) ={∅ si 0 /∈ A′A si 0 ∈ A ′ .Par suite, comme ∅ ∈ A, l’application 1 A : (Ω, A) → (R, B(R)) est mesurable si et seulement si A ∈ A.Remarque 1.14 Considérons un ensemble Ω = [0,1], A = {0} et les tribus A 1 = σ(A) = {∅, {0},]0,1],Ω} etA 2 = {∅,Ω}. Si Ω est muni de la tribu A 1 , la fonction 1 {0} : (Ω, A 1 ) → (R, B(R)) est mesurable car {0} ∈ A 1 .Par contre, si Ω est muni de la tribu A 2 , la fonction 1 {0} : (Ω, A 2 ) → (R, B(R)) n’est pas mesurable car{0} /∈ A 2 . La notion de fonction mesurable dépend des tribus dont sont munis les espaces Ω et Ω ′ .L’ensemble des fonctions mesurables définies sur Ω (muni de la tribu A) à valeurs dans R d (muni de la tribuB ( R d) ) est un espace vectoriel. De plus, si d = 1, cet ensemble possède une structure d’algèbre.Proposition 1.22Soit (Ω, A) un espace mesurable.1. Soient X : (Ω, A) → ( R d , B ( R d)) et Y : (Ω, A) → ( R d , B ( R d)) des applications mesurables. Alorspour tout (a,b) ∈ R 2 , l’application(aX + bY : (Ω, A) → R d , B(R d))est mesurable. De plus, si d = 1, le produit XY : (Ω, A) → (R, B(R)) est mesurable.2. Soient (Ω 1 , A 1 ) et (Ω 2 , A 2 ) deux espaces mesurables. Si les applications X : (Ω, A) → (Ω 1 , A 1 ) etY : (Ω 1 , A 1 ) → (Ω 2 , A 2 ) sont mesurables, alors la composéeest une application mesurable.Y ◦ X : (Ω, A) → (Ω 2 , A 2 )Remarque 1.15 La proposition 1.22 reste vraie pour des fonctions à valeurs dans R d tant que les opérationssont bien définies et en remplaçant la tribu B ( R d) (par la tribu B R d) .Pour terminer cette section, précisons un tout petit changement de vocabulaire dans le cas où les espacesΩ et Ω ′ sont des espaces métriques munis de leur tribu borélienne.Définition 1.23 (Application borélienne)Soient Ω et Ω ′ deux espaces métriques. Une application borélienne X : Ω → Ω ′ est une applicationX : (Ω, B(Ω)) → (Ω ′ , B(Ω ′ )) mesurable (par rapport aux tribus boréliennes B(Ω) et B(Ω ′ )).13