Intégration et Probabilités

3.2 Mesure image et loi d’une variable aléatoire3.2.1 DéfinitionsProposition 3.3 (Définition d’une mesure image)Soient (Ω, A,µ) un espace mesuré, (Ω ′ , A ′ ) un espace mesurable et X : (Ω, A) −→ (Ω ′ , A ′ ) une fonctionmesurable. Alors, l’applicationµ X: A ′ → [0,+∞]B ↦→ µ(X −1 (B))est une mesure positive sur (Ω ′ , A ′ ) et est appelée mesure image de µ par X.Preuve de la proposition 3.3. Si B ∈ A ′ , alors X −1 (B) ∈ A car X est mesurable et donc µ X(X −1 (B) ) est bienbien défini et appartient à [0,+∞]. Par ailleurs, µ X(∅) = µ(∅) = 0.• Considérons à présent (A n ) n∈Nune suite d’éléments de A ′ deux à deux disjoints. Alors,µ X( ⋃n∈NA n)= µ(X −1 ( ⋃n∈N)) ( ⋃A n = µ X −1 (A n )n∈N).Les ensembles A n ∈ A, n ∈ N, étant deux à deux disjoints, les ensembles X −1 (A n ), n ∈ N, sont aussideux à deux disjoints. De plus, X étant mesurable,pour tout n ∈ N X −1 (A n ) ∈ A car A n ∈ A ′ . Alors,( ) ⋃µ XA n = ∑ µ ( X −1 (A n ) ) = ∑ X(A n ).n∈N n∈Nn∈NµVu ce qui précède, µ Xest une mesure positive sur (Ω ′ , A ′ ).Reformulons en termes probabilistes ce qui précède.Définition 3.4 (Loi d’une variable aléatoire)Soient (Ω, A, P) un espace de probabilité, (Ω ′ , A ′ ) un espace mesurable et X : (Ω, A) −→ (Ω ′ , A ′ ) unevariable aléatoire (c’est-à-dire une fonction mesurable). Alors la mesure imageP X: A ′ −→ [0,+∞]B ↦−→ P(X −1 (B))de P par X est une probabilité sur (Ω ′ , A ′ ) appelée loi de la variable aléatoire X (sous la probabilité P).Exemple 3.2 Considérons un espace (Ω, A, P) de probabilité.1. Considérons la variable aléatoire X : Ω → Ω définie par X(ω) = ω. Alors, la loi de X est P X= P carX −1 (B) = B pour tout B ∈ A.2. Supposons que P = δ a avec a ∈ Ω et considérons X : (Ω, A) −→ (Ω ′ , A ′ ) une variable aléatoire. Alors, laloi P X: A ′ → [0,+∞] de X est définie par∀B ∈ A ′ (, P X(B) = δ a X −1 (B) ) { 1 si a ∈ X=−1 (B), c’est-à-dire si X(a) ∈ B,0 sinon.Par conséquent, la loi de X est P X= δ X(a) .51