Intégration et Probabilités

De plus, (ϕ n ◦ X) n∈N est une suite croissante de fonctions étagées sur (Ω ′ , A ′ ) à valeurs dans [0,+∞]convergeant simplement vers la fonction mesurable positive ϕ ◦ X. Alors,∫∫∫ϕ(X(ω))µ(dω) = lim ϕ n (X(ω))µ(dω) = ϕ(x)µn→+∞X(dx).Ω ′Ω2. L’assertion 2. se déduit de l’assertion 1. et de la définition d’une fonction intégrable.Ω3. Supposons que ϕ : Ω → R est µ X-intégrable. Alors, par définition,∫∫∫ϕ(x)µ X(dx) = ϕ +(x)µ X(dx) − ϕ −(x)µ X(dx).Ω ′ Ω ′ Ω ′Les fonctions ϕ +et ϕ − étant mesurables à valeurs dans [0,+∞], d’après l’assertion 1.,∫∫∫∫ϕ(x)µ X(dx) = ϕ +(X(ω))µ(dω) − ϕ −(X(ω))µ(dω) = ϕ(X(ω))µ(dω).Ω ′ ΩΩΩcar (ϕ ◦ X) += ϕ +◦ X et (ϕ ◦ X) −= ϕ −◦ X.Écrivons maintenant en termes probabilistes le théorème du transport.Théorème 3.6 (Version probabiliste du théorème de transport)Soient (Ω, A, P) un espace de probabilité, (Ω ′ , A ′ ) un espace probabilisable et X : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) unevariable aléatoire. Notons P Xla loi de X. Considérons ϕ : (Ω ′ , A ′ ) → ( R, B ( R )) une fonction mesurable.1. La fonction ϕ est P X-intégrable si et seulement si ϕ(X) est P-intégrable.2. Si ϕ(X) est P-intégrable ou à valeurs P-presque sûrement dans [0,+∞], alors∫E(ϕ(X)) = ϕ(x)P X(dx).Ω ′Terminons cette section en donnant une caractérisation de la loi de X.Proposition 3.7Soient (Ω, A, P) un espace de probabilité, (Ω ′ , A ′ ) un espace probabilisable et X,Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ )deux variables aléatoires.Alors, X et Y ont même loi si et seulement si pour toute fonction ϕ : (Ω ′ , A ′ ) → ([0,+∞], B([0,+∞]))mesurable,E(ϕ(X)) = E(ϕ(Y )). (3.1)Remarque 3.3 Les variables aléatoires X,Y : (Ω, A) → (Ω ′ , A ′ ) ont même loi si et seulement si (3.1) estvérifiée pour toute fonction ϕ : (Ω ′ , A ′ ) → ( R, B ( R )) mesurable bornée (ou mesurable positive bornée).Preuve de la proposition 3.7. Notons P Xla loi de X et P Yla loi de Y .• Supposons que P X= P Y. Considérons une fonction mesurable ϕ : (Ω ′ , A ′ ) → ([0,+∞], B([0,+∞])).Alors, d’après le théorème du transport,∫ ∫E(ϕ(X)) = ϕdP X=Ω ′ ϕdP Y= E(ϕ(Y )).Ω ′53