Intégration et Probabilités

Théorème 3.14 (Théorème du transport pour une variable aléatoire discrète)Soient (Ω, A, P) un espace de probabilité et (E, E) un ensemble probabilisable. Supposons que E = B(E)ou E = P(E) et considéronsS = {x i /i ∈ I} ⊂ Eun ensemble fini ou dénombrable. Supposons x i ≠ x j pour tous i,j ∈ I tels que i ≠ j. Considérons unevariable aléatoire discrète X : (Ω, A) → (E, E) à valeurs P-presque sûrement dans S et une fonctionmesurable ϕ : (E, E) → ( R, B ( R )) .1. Alors, ϕ(X) est intégrable si et seulement si∑|ϕ(x i )| P(X = x i ) < +∞.i∈I2. Si ϕ(X) est intégrable ou si ϕ(X) est à valeurs dans [0,+∞] presque sûrement, alorsE(ϕ(X)) = ∑ i∈Iϕ(x i ) P(X = x i ).3.3.2 Fonction de répartition d’une variable réelle discrèteDans cette section, nous donnons la fonction de répartition d’une loi discrète. De plus, connaissant lafonction de répartition d’une variable aléatoire X, nous souhaitons savoir si X est discrète et donner sa loi.Proposition 3.15 (Variables aléatoires discrètes et fonctions de répartition)1. Considérons (Ω, A, P) un espace de probabilité. Soit X une variable aléatoire réelle discrète définiesur (Ω, A, P) et à valeurs P-presque sûrement dans l’ensembleS = {x i /i ∈ I} ⊂ Ravec I = {1,... ,n} ou I = N ∗ . Notons F Xla fonction de répartition de X et posonsp i = P(X = x i )pour tout i ∈ I. Supposons que pour tout i ∈ I tel que i + 1 ∈ I, x i < x i+1 .(a) Si S est fini, alors⎧⎪⎨ 0 si t ∈ ]−∞,x 1 [F X(t) = p 1 + · · · + p i si x i t < x i+1 avec 1 i < n⎪⎩1 si t ∈ [x n ,+∞[.(b) Si S est infini dénombrable, alors{0 si t ∈ ]−∞,x 1 [F X(t) =p 1 + · · · + p i si x i t < x i+1 avec i ∈ N ∗ .(c) La fonction F Xest constante par morceaux continue sauf éventuellement aux points x i , i ∈ I,et pour tout i ∈ I, p i = F X(x i ) − F X(x i− ) est la valeur du saut de la fonction F Xau point x i .58