Intégration et Probabilités

Preuve de la proposition 1.26. Voir annexe 1.5.5 page 23.Nous pouvons à présent donner un exemple simple de fonctions boréliennes : les fonctions continues.Corollaire 1.27Si E et F sont deux espaces métriques, alors toute application X : E −→ F continue est borélienne.Preuve du corollaire 1.27. Notons O l’ensemble des ouverts de E et O ′ l’ensemble des ouverts de F.L’application X étant continue,∀A ′ ∈ O ′ , X −1( A ′) ∈ O ⊂ B(E).Alors, d’après la proposition 1.26, l’application X est borélienne car σ(O ′ ) = B(F).Étudions la mesurabilité d’une fonction à valeurs dans un espace produit.Corollaire 1.28 (Mesurabilité d’une fonction à valeurs dans Ω 1 × · · · × Ω d )Soient (Ω, A),(Ω 1 , A 1 ),...,(Ω d , A d ) des espaces mesurables. Nous munissons l’espace Ω 1 × · · · × Ω d dela tribu produit A 1 ⊗ · · · ⊗ A d . Considérons des applicationsX (i) : Ω → Ω i ,1 i dainsi que l’application X = ( X (1) ,... ,X (d)) . Alors, l’applicationX : (Ω, A) → (Ω 1 × · · · × Ω d , A 1 ⊗ · · · ⊗ A d )est mesurable si et seulement si pour tout 1 i d, X (i) : (Ω, A) → (Ω i , A i ) est mesurable.Preuve du corollaire 1.28. Voir Annexe 1.5.6, page 24.Étudions à présent la mesurabilité d’une limite simple de fonctions mesurables.Proposition 1.29 (Limite simple de fonctions mesurables)Considérons (X n ) n∈Nune suite(d’applications mesurables définies sur Ω muni de la tribu A à valeursdans R d muni de la tribu B R d) . Si (X n ) n∈Nconverge simplement vers la fonction X, c’est-à-dire sialors la fonction X : (Ω, A) →∀ω ∈ Ω, X n (ω) −−−−→n→+∞( (R d , B R d)) est mesurable.X(ω),(Remarque 1.17 Nous pouvons remplacer R d par R d ou par I ∈ B R d) dans la proposition précédente.Remarque 1.18 En tant que limite simple de fonctions étagées (ou de fonctions en escalier), toute fonctionconstante par morceaux sur R est borélienne.15