Intégration et Probabilités

1. Montrons que µ est bien définie à valeurs dans [0, +∞].Soit A ∈ A. Pour tout n ∈ N, étant donné que α n ∈]0,+∞] et µ n (A) ∈ [0,+∞],α n µ n (A) ∈ [0,+∞]car par convention +∞ × 0 = 0 et +∞ × +∞ = +∞. Alors, en tant que somme d’éléments de [0,+∞],µ(A) = ∑ n∈Nα n µ n (A)est bien défini et µ(A) ∈ [0,+∞].2. Montrons que µ est σ-additive.Soit (A p ) p∈Nune suite d’éléments de A deux à deux disjoints. Alors,⎛µ ⎝ ⋃ p∈N⎞+∞∑A p⎠ =n=0⎛ ⎞α n µ n⎝ ⋃ +∞∑A p⎠ =p∈N n=0∑+∞α n µ n (A p )par définition de µ et par σ-additivité des mesures µ n , n ∈ N. Remarquons que pour tout n ∈ N,∑+∞α n µ n (A p ) =p=0+∞∑p=0α n µ n (A p ).L’égalité précédente est évidente si α n < +∞. Dans le cas où α n = +∞, on vérifie aisément (laissé enexercice) que l’égalité reste vraie vu les conventions adoptées. Ainsi,⎛ ⎞ ⎛ ⎞+∞∑+∞∑µ A p⎠ = ⎝ α n µ n (A p ) ⎠.⎝ ⋃ p∈NTous les termes étant dans [0,+∞], nous pouvons échanger les deux sommes et ainsi écrire⎛ ⎞ (+∞∑ +∞)∑+∞∑µ A p⎠ = α n µ n (A p ) = µ(A p ).⎝ ⋃ p∈Np=0n=0n=0p=0p=0p=03. Étant donné que µ n (∅) = 0 pour tout n ∈ N et que par convention +∞ × 0 = 0,µ(∅) = ∑ n∈Nα n µ n (∅) = ∑ n∈Nα n × 0 = 0.Vu les points 1., 2. et 3. µ est une mesure positive sur (Ω, A).1.5.3 Preuve de la proposition 1.19, voir énoncé page 111. Montrons que µ est croissante pour l’inclusion.Soient A,B ∈ A tels que A ⊂ B. Alors,B = B\A ∪ Aavec B\A = B ∩ A c ∈ A (car A est une tribu contenant A et B). Les ensembles mesurables B\A et A étantdisjoints, par additivité de µ,µ(B) = µ(B\A) + µ(A).Alors, étant donné que µ(B\A) 0, µ(A) µ(B).20