Intégration et Probabilités

2.2 Propriétés générales de l’intégraleCommençons par énoncer la propriété de linéarité de l’intégrale.Proposition 2.12 (Additivité/Linéarité)Soient f,g : (Ω, A) → ( R, B ( R )) deux fonctions mesurables.1. Si f et g sont à valeurs dans [0,+∞] et si a,b ∈ [0,+∞], alors∫∫ ∫(af + bg) dµ = a f dµ + b g dµ.Ω2. Si f et g sont µ-intégrables à valeurs dans R alors, pour tous réels a et b, la fonction af + bg estµ-intégrable et∫∫ ∫(af + bg)dµ = a f dµ + b g dµ.ΩΩΩΩΩNous donnons un lien entre l’intégrabilité d’une fonction mesurable f et l’intégrabilité de |f|.Proposition 2.13 (Critère d’intégrabilité)Considérons une fonction f : (Ω, A) → ( R, B ( R )) .∫1. La fonction f est µ-intégrable si et seulement si f est mesurable telle que2. Si fest mesurable, alors, f est µ-intégrable si et seulement si |f| l’est.3. Enfin, si la fonction f est µ-intégrable, alors∫∫∣ f dµ∣ |f|dµ.ΩΩΩ|f|dµ < +∞.Précisons que l’ensemble sur lequel une fonction intégrable est infinie est un ensemble négligeable.Proposition 2.14Si f : (Ω, A) → ( R, B ( R )) est une fonction µ-intégrable, alors f est finie µ-presque partout.Preuve de la proposition 2.14. Soit f : (Ω, A) → ( R, B ( R )) une fonction µ-intégrable. Alors, comme f estmesurable et comme {+∞, −∞} ∈ B ( R ) , A = {|f| = +∞} = f −1 ({+∞, −∞}) ∈ A. Par suite, lafonction g = (+∞) × 1 A est une fonction mesurable étagée positive telle que g |f|. Alors,∫ ∫g dµ |f|dµ < +∞d’après la proposition 2.7 et car f est µ-intégrable. De plus, vu nos conventions,∫ { +∞ si µ(A) > 0g dµ =0 si µ(A) = 0.ΩΩΩPar conséquent, µ(A) = µ({|f| = +∞}) = 0, c’est-à-dire que f est finie µ-presque partout.32