Intégration et Probabilités

2.1.4 ExemplesExemple 2.3 Soit Ω un ensemble non vide, A = P(Ω) et µ = δ a avec a ∈ Ω. Toute fonction f : Ω → R estmesurable car Ω est muni de la tribu P(Ω).• Soit f : Ω → [0,+∞] une fonction à valeurs dans [0,+∞]. Considérons (f n ) n∈Nune suite croissante defonctions étagées à valeurs dans [0,+∞] qui converge simplement vers f. Alors, par définition, et d’aprèsl’exemple 2.2 (voir page 26) appliqué à chaque fonction f n ,∫∫• Soit f : Ω → R une fonction. Alors,Ωf dδ a = limn→+∞f est δ a -intégrable ⇐⇒∫Par ailleurs, si f(a) ∈ R, alorsΩ∫ΩΩf n dδ a = limn→+∞ f n(a) = f(a).f +dδ a < +∞ et∫Ωf −dδ a < +∞⇐⇒ f +(a) < +∞ et f −(a) < +∞ ⇐⇒ f(a) ∈ R.∫f dδ a =Ω∫f +dδ a − f −dδ a = f +(a) − f −(a) = f(a).ΩEn conclusion, une fonction f : Ω → R est δ a -intégrable si et seulement si f(a) ∈ R. De plus, si f : Ω → R estune fonction à valeurs dans [0,+∞] ou une fonction δ a -intégrable,∫f dδ a = f(a).ΩExemple 2.4 Soit Ω un ensemble non vide muni de la tribu A = P(Ω). Considérons sur (Ω, A) la mesurepositiveµ = ∑ n∈Nα n δ anavec α n ∈]0,+∞] pour tout n ∈ N et (a n ) n∈Nune suite d’éléments de Ω deux à deux distincts.• Remarquons tout d’abord que toute fonction f : Ω → R est mesurable car Ω est muni de la tribu P(Ω).• Nous pouvons alors montrer qu’une fonction f : Ω → R est µ-intégrable si et seulement si∑α n |f(a n )| < +∞.n∈NDe plus, si f : Ω → R est une fonction à valeurs dans [0,+∞] ou une fonction µ-intégrable,∫f dµ = ∑ α n f(a n ).Ωn∈N2.1.5 L’essentiel de la section 2.1Il faut essentiellement retenir la démarche de construction :• déterminer l’ensemble des fonctions mesurables,• définir l’intégrale d’une fonction étagée positive,• définir l’intégrale d’une fonction mesurable positive en passant à la limite,• en déduire l’ensemble des fonctions intégrables puis l’intégrale d’une fonction intégrable.31