Intégration et Probabilités

Remarque 4.71. Si X admet un moment d’ordre 1, alors X − E(X) est une variable aléatoire centrée.2. Soient 1 p p ′ . Étant donné que Lp (Ω, A, P) ⊂ L p′ (Ω, A, P) (car P est une mesure positive bornée), siX admet un moment d’ordre p ′ , alors X admet un moment d’ordre p.Nous pouvons à présent définir les notions de variance et écart-type.Définition 4.22 (Variance et écart-type)Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R admettant un moment d’ordre 2.[1. La variance de X est définie par Var (X) = E (X − E(X)) 2] .2. De plus, la variable X est réduite si Var (X) = 1.3. L’écart-type de X est défini par σ(X) = √ Var (X).Donnons quelques propriétés de la variance.Proposition 4.23Soit X une variable aléatoire à valeurs dans R admettant un moment d’ordre 2.1. La variance de X est finie etVar X = E ( X 2) − (E(X)) 2 .2. Var (X) = 0 (ou σ(X) = 0) si et seulement si X est presque sûrement constante.Preuve de la proposition 4.23.1. Remarquons que(X − E(X)) 2 = X 2 − 2XE(X) + (E(X)) 2 .Étant donné que X admet un moment d’ordre 2, E ( X 2) < +∞ et E(|X|) < +∞. Par linéarité del’intégrale sur l’ensemble des fonctions intégrables,[Var X = E (X − E(X)) 2] = E ( X 2) − 2E(X)E(X) + (E(X)) 2 = E ( X 2) − (E(X)) 2car E(a) = a pour tout réel a.2. La deuxième assertion est une conséquence directe de la proposition 2.8 du chapitre 2. Proposition 4.24Soient (a,b) ∈ R 2 et X une variable aléatoire à valeurs dans R admettant un moment d’ordre 2. Alors,Var (aX + b) = Var (aX) = a 2 Var (X).Des exemples de calculs de moments seront donnés en annexe (voir section 4.4.2) pour les lois classiques.86