Intégration et Probabilités

Fixons n ∈ N. Étant donné que Ω n ∈ B ( R d) et que les fonctions f et g sont boréliennes,(A n = {f < g} ∩ Ω n ∈ B R d) .Les fonctions f1 An et g1 An sont alors boréliennes à valeurs dans [0,+∞]. De plus, par hypothèse∫ ∫f1 An dν = g1 An dν = µ(A n ) < +∞. (3.6)ΩΩEn particulier, les fonctions boréliennes positives f1 An et g1 An sont ν-intégrables. Par ailleurs, pardéfinition de A n , f1 An g1 An . Alors, d’après la proposition 2.17 (voir page 34), vu l’égalité (3.6),f1 An = g1 Anν-presque partout.Comme sur A n , f < g, nous avons ν(A n ) = 0. Ceci étant vrai pour tout n ∈ N, A = {f < g} = ⋃ n∈N A nest ν-négligeable, c’est-à-dire que g f ν-presque partout. De même f g ν-presque partout. Parconséquent, f = g ν-presque partout.Nous pouvons maintenant définir les variables aléatoires de loi absolument continue.Définition 3.23 (Variable absolument continue)Une variable aléatoire X à valeurs dans R d est absolument continue si sa loi est absolument continue,c’est-à-dire s’il existe une fonction f X: R d → [0,+∞] borélienne telle que(∀A ∈ B R d) ∫, P X(A) = P(X ∈ A) = f X(x)1 A (x)λ d (dx).R dLa fonction f Xest alors appelée densité de X.Nous pouvons caractériser les densités de variables aléatoires.Proposition 3.24Une fonction f : R d → R est la densité d’une variable aléatoire X définie sur un espace de probabilité(Ω, A, P) si et seulement si f est une fonction borélienne à valeurs dans [0,+∞] et telle que∫R d f(x)λ d (dx) = 1.Preuve de la proposition 3.24. Soit f : R d → R une fonction.• Si f est la densité d’une variable aléatoire X à valeurs dans R d , alors par définition f est borélienne àvaleurs dans [0,+∞] et ∫(f(x)λ d (dx) = P X ∈ R d) = 1. (3.7)R d• Réciproquement supposons que f est borélienne à valeurs dans [0,+∞] et vérifie (3.7). Supposons d = 1et considérons la fonction F : R → R définie par∫∫F(t) = f(x)λ 1 (dx) = f 1 ]−∞,t] dλ 1 .]−∞,t]62R