Mikrovalna elektronika - FESB

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
∂
∇ = ∇
tr
+ ez
.
∂z
Sada prve dvije Maxwellove jednadžbe možemo pisati u obliku:
⎛ ∂ ⎞
⎜∇ + e ⎟× E + e E = − j H + e H
⎝ ∂z
⎠
⎛ ∂ ⎞
⎜∇ tr
+ ez ⎟× Htr + ezH z
= jωε
Etr + ezEz
⎝ ∂z
⎠
( ) ωµ ( )
tr z tr z z tr z z
( ) ( )
Iz ovih jednadžbi slijedi veza između transverzalnih i aksijalnih komponenti
elektromagnetskog polja u homogenom valovodu:
1 ⎡ ⎛ ∂Ez
⎞ ⎤⎫
Etr = ∇
2 2 tr ⎜ ⎟ − jωµ
∇
tr
× ezH
z ⎪
ω µε − β
⎢
g
z
⎥
⎣ ⎝ ∂ ⎠
⎦⎪ ⎬
iii ,
−1
⎡ ⎛ ∂H
z ⎞ ⎤
Htr = ∇
2 2 tr
− jωε∇ tr
× ezE
⎪
⎜ ⎟
z
ω µε − β
⎢
g ⎣ ⎝ ∂z
⎠
⎥⎪
⎦⎭
.
Dakle, da bi dobili vrijednosti transverzalnih komponenti elektromagnetskog polja
potrebno je znati aksijalne komponente električnog i magnetskog polja. Njih pak
možemo dobiti rješavajući Helmholtzovu jednadžbu za određenu komponentu polja,
konkretno za longitudinalnu komponentu električnog i magnetskog polja:
{ ( 2 2
tr
ω µε βg )} Ez
( x y)
( 2 2
tr
ω µε βg ) H
z
x y
∆ + − , = 0 ,
{ } ( )
∆ + − , = 0 .
Naravno da će svako od ovih rješenja zadovoljavati Maxwellove jednadžbe, ali
također moraju zadovoljiti i granične uvjete koje smo napisali na početku, jer i oni
proizlaze iz Maxwellovih jednadžbi. Naime, već smo uočili da, uslijed toga što na
graničnoj površini vrijedi:
n× E = 0 ,
slijedi da je tangencijalna komponenta električnog polja jednaka nuli, odnosno E z = 0.
Nadalje, iz graničnog uvjeta:
n⋅ B = 0 ,
slijedi da je normalna komponenta magnetske indukcije jednaka nuli, odnosno B n = 0,
što, uzimajući u obzir da je normala na graničnu površinu okomita na smjer
propagacije vala, kod izotropnih sredina znači i da je normalna komponenta
magnetskog polja jednaka nuli, pa na granici vrijedi:
.
,
iii Namjerno je učinjena određena nedosljednost u ovom izrazu. Naime iako smo već istakli da je:
∂ = − jβ
g
,
∂z
ipak je član unutar okruglih zagrada ostavljen u obliku parcijalne derivacije po z kako bi izrazi za
transverzalne komponente elektromagnetskog polja bili analogni.
- 57 -