Mikrovalna elektronika - FESB

MIKROVALNA ELEKTRONIKA
FESB – SPLIT
k
=
a
∫
2 0
n a
∫
0
dE
dx
E
2
yn
yn
2
dx
.
dx
Posljednja relacija nam govori da u slučaju postojanja nekog polja E yn u valovodu
vlastita vrijednost k 2
n ne može biti negativna niti kompleksna vrijednost. Dakle,
vlastite vrijednosti su pozitivne i realne bez obzira kakva je vlastita funkcija, što smo
željeli i dokazati.
Nadalje dokažimo i istražimo tvrdnju da su dvije različite vlastite funkcije s
različitim vlastitim vrijednostima ortogonalne. Matematički izražena ta tvrdnja glasi u
slučaju TE n0 moda i TE p0 moda u pravokutnom valovodu:
a
∫ E E dx yn yp
= 0, n ≠ p .
0
Pojam ortogonalnost upotrijebljen je po analogiji na ortogonalnost dvaju vektora
iznosa čiji je skalarni produkt:
a ⋅ b = 0 ⇔ a ⊥ b .
Dokaz ove tvrdnje je kako slijedi. Budući da su E yn i E yp vlastite funkcije, onda svaka
od njih mora zadovoljavati odgovarajuću Helmholtzovu jednadžbu:
2
d Eyn
2
dx
2
d Eyp
2
dx
2
+ kn
Eyn
= 0
.
+ k E = 0
Množenjem prve s E yp a druge s E yn te oduzimanjem dobivenih jednadžbi imamo:
2 2
d Eyn
d Eyp
2 2
Eyp − E
2 yn
+
2 ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 .
dx dx
To se da napisati kao:
2
p
yp
d ⎛ dEyn ⎞ dEyp dEyn
d ⎛ dE
Eyp
−
yp ⎞ dEyp dEyn
2 2
⎜ ⎟
− ⎜ Eyn
⎟ + + ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 ,
dx ⎝ dx ⎠ dx dx dx ⎝ dx ⎠ dx dx
d ⎛ dEyn
dEyp
⎞ 2 2
⎜ Eyp − Eyn ⎟ + ( kn − k
p ) EynEyp
= 0 .
dx ⎝ dx dx ⎠
Integracijom dobivenog izraza od 0 do a dobivamo:
a
a
dEyn
dEyp
⎤ 2 2
yp yn ( n p ) yn yp
dx dx
⎥
⎦ 0
0
⎡
⎢E − E + k − k ∫ E E dx = 0 .
⎣
- 87 -