Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.5. QUOTIENTENBÄUMEBeispiel:✉98✉ 7 ✉ ✉6✉54✉ ✉ ✉3 2✉1v(1) = 4), v(2) = 5, Wurzel ist 9.In Übertragung von Satz 3.3.5 und Verallgemeinerung von Satz 3.4.2 gilt3.5.2 SatzA ∈ R n×n sei spd, G = G(A)/V sei Baum, wobei Knoten von V nach der MD-Anordnung nummeriert seien. Dann existiert folgende Blockfaktorisierungvon A: ⎡A =⎢⎣⎤A 11 . . . A 1N⎥. . ⎦ , A ij ∈ R n i×n j, n i = |V i |A N1 . . . A NNmit⎡⎤ ⎡I 0 I(3.5.1) A =A 21 D11−1 . ..⎢⎣.. . . .. . ..⎥⎦ D ⎢⎣A N1 D11 −1 A N2 D22 −1 . . . Iwobei A ij ≠ 0 ⇐⇒ i = v(j) oder j = v(i) und(3.5.2) D ii = A ii −∑i−1j=1;v(j)=iBeweis: Wir rechnen blockweise nach:1. Fall: i > j; rechte Seite von (3.5.1):k=111 A 21 . . . D11 −1 A ⎤N1. .. . .. D−122 A N2. ⎥.. . ⎦ID −1A ij D −1jj A ji.j−1∑A ik D −1kk A kj + A ij .105