Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.3. STRUKTURELLE SINGULARITÄT UND TRANSVERSALE4.3.16 SatzM und N seien Matchings mit |M| = r < |N| = s. Dann enthält M ⊕ Nmindestens s − r knotendisjunkte zunehmende Pfade bzgl. M.Beweis: Betrachte den Graphen H = (V, M ⊕ N). In H ist jeder Knotenhöchstens mit einer Kante aus M \ N und einer aus N \ M inzident. Für jedeZusammenhangskomponente C 1 , . . . C g (kurz: C) von H gilt deshalb einerder drei folgenden Fälle:• C ist ein (in H) isolierter Knoten• C ist ein Zyklus gerader Länge mit Kanten abwechselnd in M \ N undN \ M• C ist ein Pfad mit Kanten abwechselnd in M \ N und N \ MSei C i = (V i , E i ), setze δ i = |E i ∩ N| − |E i ∩ M|. Dann ist δ i ∈ {−1, 0, 1}, undδ i = 1 genau dann, wenn E i ein zunehmender Pfad bzgl. M ist. Außerdemgiltg∑δ i =i=1g∑|E i ∩ N| −i=1g∑|E i ∩ M|i=1= |(M ⊕ N) ∩ N| − |(M ⊕ N) ∩ M|= |N \ M| − |M \ N| = |M| − |N| = s − r.Also ist δ i = +1 für mindestens s−r verschiedene Werte von i. Die zugehörigenV i sind als Knotenmengen von Zusammenhangskomponenten disjunkt.□4.3.17 KorollarM ist ein maximales Matching genau dann, wenn es keinen zunehmendenPfad bezüglich M gibt.4.3.18 KorollarIst M ein Matching mit |M| = r und hat ein maximales Matching die Größes > r, so existiert ein zunehmender Pfad bzgl. M mit höchstens der Länge2 · ⌊r/(s − r)⌋ + 1.Beweis: N sei ein maximales Matching, |N| = s. Nach Satz 4.3.16 enthältM ⊕ N mindestens s − r knotendisjunkte (und damit kantendisjunkte) zunehmendePfade bzgl. M. Alle solchen Pfade zusammen enthalten höchstensr Kanten aus M, also enthält einer von ihnen höchstens ⌊r/(s − r)⌋ Kanten138