Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.5. RÜCKGRIFF AUF SYMMETRISCHE STRUKTURENEs ist also A = A 0 .Folge: Ist ɛ 0 = bn(A), so besitzt A ɛ Transversalen für alle ɛ ≤ ɛ 0 , und keineTransversale für ɛ > ɛ 0 .In Zukunft sagen wir kurz ”M ist ein Matching für A“, wenn es eines fürden bipartiten Graphen P (A) (siehe Definition 4.3.12) ist. M muss nichtunbedingt die Größe n haben.Beachte: Für ɛ > ɛ ′ ist P (A ɛ ) ein Teilgraph von P (A ɛ ′) (mit evtl. wenigerKanten). Jedes Matching für P (A ɛ ) ist auch eines für P (A ɛ ′, aber nicht umgekehrt.4.5.6 DefinitionSei M ein Matching für A und ɛ ≥ 0. Dann istM ɛ = {(i, j) ∈ M | |a i,j | ≥ ɛ}Es ist M ɛ ⊆ M ein Matching von A und A ɛ .Wir gehen nun davon aus, dass wir ein Verfahren haben, das ein MatchingM für A erweitert zu einem maximalen Matching M ′ = MM(A, M). (DieVerfahren von Hall und von Hopcroft und Karp können beide entsprechendmodifiziert werden.)Idee für Algorithmus: Verkleinere durch Bisektion sukzessive ein Intervall[ɛ, ɛ], so dass A ɛ kein, A ɛ dagegen ein Matching der Größe n besitzt.4.5.7 Algorithmus(Flaschenhals-Matching)setze ɛ = 0, ɛ = ∞M = MM(A, ∅)T ′ = Mwhile es ex. i, j mit ɛ < |a ij | < ɛ dowähle ein solches (i, j), setze ɛ = |a ij |T = MM(A ɛ , T ɛ ′)if |T | = |M| thenT ′ = T, ɛ = ɛelseɛ = ɛend ifend while{Details später}Wenn A eine Transversale besitzt, ist |M| = n. Der Algorithmus ist so formuliert,dass er auch im Falle einer strukturell singulären Matrix ein maximalesFlaschenhalsmatching bestimmt.153