Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDNUNGKnoten 1 2 3 4 5 6 7Grad 2 0 2 3 3 4 2Aufwand: O(1), wenn der alte Grad bekannt ist.deg/Knoten 0/1 1/2 2/3 3/4 4/5 5/6 6/7degstart 2 - 1 5 6 - -vorg 0 0 1 5 0 0 1nachf 7 0 7 0 4 0 0Folgerung: Es gelte mindeg ≤ c, |R| ≤ d in allen Stufen des MD-Algorithmus. Verwendet man die obige Datenstruktur, so gilt für denAufwand für (1) und (2):(1) : O(c) (suche erste nichtleere Liste)(2) : O(d)⇒ Gesamtaufwand O(n(c + d)).Zum Abschluss besprechen wir noch eine letzte Verbesserung für den MD-Algorithmus.Ausgangsüberlegung: Zwei Knoten haben ”die gleiche Nachbarschaft in G k “.3✉ ✉2✉1✉✉4✉Reach(1, S) = {2, 3, 4} Reach(2, S) = {1, 3, 4}.Es gilt dann deg Gk(1) = deg Gk(2), was sich auch in den nächsten Schrittennicht mehr ändert. Zusätzlich gilt:Wenn ein Knoten derjenige mit minimalem Grad wird (z.B. 1 = π(k)), sokann man π(k+1) = 2 nehmen (siehe Satz 3.3.27 unten). Einsparung beimAufdatieren des Graphen und bei der Minimumsbestimmung. Wir gehen diesjetzt systematisch an.3.3.23 DefinitionSei G = (E, V ), S ⊆ V , T = V S und x, y ∈ T . Dann heißen x, y nichtunterscheidbar bezüglich S ( ”nubS“), falls giltReach(x, S) ∪ {x} = Reach(y, S) ∪ {y}.84