Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.3. STRUKTURELLE SINGULARITÄT UND TRANSVERSALEAber: Wir haben großzügig abgeschätzt. Für Anteil 2 kann der Aufwandmit Hilfe von Zeigern (siehe Duff, Erisman, Reid) auf O(nnz(A)) reduziertwerden.Fazit: Algorithmus 4.3.9 hat sich in der Praxis bewährt.Wir behandeln als Alternative jetzt den Algorithmus von Hopcroft und Karpzur Bestimmung einer Transversale. Er hat eine theoretisch bessere Komplexitätals das Verfahren von Hall.Der neue Algorithmus verwendet ”maximale Matchings“.4.3.10 DefinitionSei G = (V, E) ein Graph.(i) Eine Menge M ⊆ E von Kanten heißt Matching, falls jeder Knoten mithöchstens einer Kante aus M inzident ist.(ii) Knoten, die mit keiner Kante des Matchings M inzident sind, heißenfrei.(iii) Ein Matching M heißt maximal, wenn es kein Matching mit mehr Elementengibt.4.3.11 DefinitionEin Graph P = (V, E) heißt bipartit oder paar, wenn es eine Partition V =B∪G gibt, so dass alle Kanten nur zwischen B und G verlaufen, E ⊆ {{b, g} |b ∈ B, g ∈ G}.B: ’boys’, G: ’girls’.4.3.12 DefinitionFür A ∈ R n×n ist P (A) = (V, E) der bipartite Graph mitB = {z 1 , . . . , z n }, G = {s 1 , . . . , s n }, V = {{z i , s j } | a ij ≠ 0}.Abbildung 4.1 zeigt ein Beispiel.Folgerung: Die Matrix A besitzt eine Transversale, wenn P (A) ein maximalesMatching der Größe n besitzt (man sagt auch: P (A) ist ein Heiratsgraph).Denn ist M = {{z i1 , s j1 }, . . . , {z in , s jn }} ein solches Matching, und sind π zund π s die Permutationen mit π s (l) = i l , π z (l) = j l sowie P z und P s diezugehörigen Permutationsmatrizen, so besitzt P z APsT eine vollbesetzte Diagonale.Es geht also darum, in P (A) ein maximales Matching zu bestimmen (und zuzeigen, dass es die Größe n hat).135