Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDNUNG3.3.10 Beispiel✉ ✉ ✉ ✉ ✉1 2✉ ✉ ✉3 4✉5Die mit Doppelkreis dargestellten Knoten entsprechen S.Reach(1, S) = {2}, Reach(2, S) = {1, 3, 4},Reach(3, S) = {2, 4}, Reach(4, S) = {2, 3, 5},Reach(5, S) = {4}.Mit dem Reach-Operator kann man G k über G 1 charakterisieren:3.3.11 SatzSeien π 1 , π 2 , . . . die Pivotknoten, G 1 , G 2 , . . . die zugehörigen EliminationsgraphenG k = (T k , E k ); T k = {1, . . . , n} S k , S k = {π 1 , . . . , π k−1 }. Dann gilt füry ∈ T kadj Gk (y) = Reach G1 (y, S k ).Beweis: k = 1 : S 1 = ∅k k + 1: Sei y ∈ T k+1 , x ∈ T k+1x ∈ adj Gk+1 (y)Reach G1 (y, ∅) = adj G1 (y) nach Definition⇐⇒ x ∈ adj Gk (y) oder x, y ∈ adj Gk (π k )⇐⇒ x ∈ Reach G1 (y, S k ) oder x, y ∈ Reach G1 (π k , S k )⇐⇒ x ist von y erreichbar über S k oder x und y sind von π k erreichbarüber S k⇐⇒ x ist von y erreichbar über S k oder x ist von y erreichbar über S k+1⇐⇒ x ist von y erreichbar über S k+1 also x ∈ Reach G1 (y, S k+1 ).Mit dem Reach-Operator haben wir eine implizite (im Vergleich zu den Eliminationsgraphen)Darstellung der Gauß-Elimination erreicht. Im Prinzip istso die MD-Anordnung ohne zusätzlichen Speicheraufwand bestimmbar, aberimmer noch mit zu hohem Rechenaufwand. neues Konzept zur Bestimmungvon Reach.74□