Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDNUNGBeweis: Es genügt der Beweis für k = 2. Knoten mit minimalem Grad ineinem Baum sind die Blätter w, deg(w) = 1. Bei MD-Anordnung ist alsodeg(π 1 ) = 1. Nach Satz 3.3.3 istE 2 = {e ∈ E 1 : e = {i, j}, i, j ≠ π 1 } ∪ {{i, j} : i ≠ j, i, j ∈ T 2 , i, j ∈ adj G1 (π 1 )}= {e ∈ E 1 : e = {i, j}, i, j ≠ π 1 } ∪ ∅,da |adj G1 (π 1 )| = 1. Damit gilt E 2 ⊆ E 1 und G| T2 hat keinen Zyklus. Zu zeigenbleibt, dass G| T2 = G 2 zusammenhängend ist. Dies folgt aus dem nächstemSatz.□3.3.6 SatzEs sei G(A) zusammenhängend. Dann ist auch G k für jede Pivotwahl zusammenhängend.Beweis: Wieder reicht k = 2. Sei p = (i 0 = i, i 1 , . . . , i l−1 , i l = j) ein Pfadwelcher i, j ∈ T 2 in G 1 verbindet, i ≠ j.Fall 1: i ν ≠ π 1 für ν = 1, . . . , l − 1 ⇒ p ist ein Pfad in G 2 .Fall 2: i ν = π 1 für genau ein ν ∈ {1, . . . , l−1}. Dann ist {i ν−1 , i ν }, {i ν , i ν+1 } ∈E 1 , also nach Satz 3.3.3 {i ν−1 , i ν+1 } ∈ E 2 , also ist p ′ = {i 0 , . . . , i ν−1 , i ν+1 , . . . , i l }ein Kantenzug, der i = i 0 mit j = i l in G 2 verbindet.□3.3.7 Beispiel✉6✉7✉5Baum:3✉✉4✉1✉2Knoten in MD-Anordnung: 1 ,2, 3, 4, 6, 7, 570