Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.5. RÜCKGRIFF AUF SYMMETRISCHE STRUKTURENEine Heurstik zur Vermeidung kleiner Pivots ist, anfänglich große Diagonalelementezu erreichen. Wir beschreiben eine kürzlich vorgestellte solcheHeuristik im Folgenden 1 .4.5.2 DefinitionSei A ∈ R n×n . Dann istdiagmin(A) =nmini=1 |a ii|.4.5.3 DefinitionEine Transversale τ für A ∈ R n×n , A nicht strukturell singulär, heißt Flaschenhals-Transversale, falls giltdiagmin(T A) =max diagmin(P A),πTransversalewobei T, P Permutationsmatrix zu τ, π. Wir schreibendiagmin(T A) = bn(A).Eine Flaschenhalstransversale τ ist also charakterisiert durchnmini=1 |a τ(i),i| = maxπTransversalenmini=1 |a π(i),i)|.4.5.4 LemmaIst τ Flaschenhalstransversale für A ∈ R n×n , T zugeh. Permutationsmatrix,so gilt für jede Wahl von Permutationsmatrizen P, Qdiagmin(T A) ≥ diagmin(P AQ T ).Folgerung: Eine Flaschenhalstransversale bringt ”möglichst“ große Einträgeauf die Diagonale.Wir kümmern uns nun um die algorithmische Bestimmung von τ. Dazu4.5.5 DefinitionSei A ∈ R n×n . Zu ɛ ≥ 0 ist die Matrix A ɛ definiert als{aij falls |a(A ɛ ) ij =ij | ≥ ɛ0 sonst1 Duff, I., Koster, J.: The design and use of algorithms for permuting large entries tothe diagonal of sparse matrices, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 20, 889-901 (1999)152