Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.2. DIGRAPHENzu (ii): v ≠ r ∈ C 1 ⇒ es existiert ein Weg von r nach v in H ⇒ es existiertein Weg von v nach r in D. Sei a() die Anfangsnummer von dfs auf D(!). Angenommen, es wäre a(r) > a(v). Da in D ein Weg von v nach rexistiert, folgt e(r) < e(v) im Widerspruch zur Wahl von r. Also gilta(r) < a(v) (und e(r) > e(v)). Es existiert in D also ein Weg von rnach v.Für den Induktionsschritt muss man noch überlegen, dass die starkenKomponenten von D nach Entfernung von C 1 gerade die übrigen starkenKomponenten sind. Lemma 4.2.26(i).□Um alle starken Komponenten eines Digraphen zu bekommen, ist 4.2.22mehrfach anzuwenden.4.2.24 DefinitionD = (V, E) sei ein Digraph, s ∈ V . Dann istV (s) = {v ∈ V : es ex in D ein Weg von s nach v}.s ist also Wurzel von D| V (s) .4.2.25 Algorithmus{bestimmt alle starken Komponenten eines Digraphen}for all Knoten v doa(v) = 0; e(v) = 0;end forwhile Knoten s existiert mit a(s) = 0 dowähle einen solchen Knotenbestimme die starken Komponenten von V (s) mit Algorithmus 3{dabei wird D verändert}end whileDie Korrektheit dieses Algorithmus beweist folgendes Lemma.4.2.26 LemmaSei D = (V, E) ein Digraph, C 1 , . . . , C ls ∈ V . Dann gilt für k = 1, . . . , l:seine starken Komponenten und126