Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.3. STRUKTURELLE SINGULARITÄT UND TRANSVERSALE⎛A =⎜⎝0 x 0 0 00 x 0 x 0x 0 0 0 x0 0 x x 00 0 x 0 0⎞⎟⎠z 1 s 1z 2 s 2z 3 s 3z 4 s 4z 5 s 5Abbildung 4.1: Matrix und zugehöriger bipartiter Graph4.3.13 DefinitionSei M ein Matching von G = (V, E) (nicht notwendig bipartit). Ein Pfadp = (v 1 , . . . , v 2k ) in G heißt zunehmender Pfad bzgl. M, falls gilt(i) v 1 und v 2k sind freie Knoten,(ii) genau jede zweite Kante von p liegt in M. Betrachtet man p als Kantenmenge,so bedeutet dasp ∩ M = {{v 2 , v 3 }, {v 4 , v 5 }, . . . , {v 2k−2 , v 2k−1 }}Zunehmende Pfade haben immer ungerade Länge.Mit A ⊕ B bezeichnen wir die symmetrische Differenz zweier Mengen:A ⊕ B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B).4.3.14 LemmaEs seien A, B, C ⊆ Y Teilmengen von Y und A c = {x ∈ Y | x ∉ A} dasKomplement von A. Dann gilt• A \ B = A ∩ B c und damit A ⊕ B = (A ∩ B c ) ∪ (A c ∩ B).• A ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C.• A ⊕ (A ⊕ B) = B.Beweis:Übung.Das folgende Resultat ist klar, s. Abbildung 4.2.4.3.15 LemmaIst M ein Matching und p ein zunehmender Pfad bzgl. M, so ist M ⊕ p einMatching mit |M ⊕ p| = |M| + 1.136