Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.2. REDUKTION DES PROFILS3.2.18 Algorithmus(Gibbs, Pool, Stockmeyer; 1976){Bestimmt einen pseudoperipheren Knoten}wähle v beliebigT = {v}, m = 0while T ≠ ∅ doentferne w aus TS 1 = {w}bestimme ɛ(w) durch Berechnung aller Levelmengen (Algorithmus 3.2.9)if ɛ(w) > m thensetze T = S ɛ(w)+1 ( ”letzte“ Levelmenge)m = ɛ(w)v = wend ifend while3.2.19 SatzAlgorithmus 3.2.18 bestimmt einen pseudoperipheren Knoten v mit ɛ(v) =m.Beweis: Der Algorithmus bricht ab, da in T nur eingefügt wird, wenn sichɛ(w) erhöht. Das geschieht höchstens d(G) mal. Als v bestimmt wurde, hatsich ɛ(w) letztmalig erhöht. Für alle u ∈ S ɛ(w)+1 ist also ɛ(u) ≤ ɛ(w). Alsosogar ɛ(u) = ɛ(w). u ∈ S ɛ(w)+1 ist aber äquivalent zu d(u, w) = ɛ(u). Also giltɛ(u) = d(u, w), also ɛ(u) = ɛ(w).□Vorbereitend zur nächsten Methode:3.2.20 DefinitionG = (V, E) sei ein Graph.a) Der Knoten v heißt inzident mit Kante e, falls e = {v, w}, w ∈ V .b) Der Grad deg(v) istdeg(v) = |{e ∈ E : v ist inzident mit e}|(Anzahl der Kanten, auf denen v liegt).c) Für W ⊆ V ist adj(W ), die Adjazenzmenge von W , die Levelmenge S 2bezüglich W (also alle Knoten, die über eine Kante mit einem v ∈ Wverbunden sind und nicht in W liegen).65