Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.3. STRUKTURELLE SINGULARITÄT UND TRANSVERSALE(Eine Menge heißt maximal bezüglich einer Eigenschaft, wenn keine echteObermenge diese Eigenschaft besitzt.)Beachte: Satz 4.3.21 zusammen mit Lemma 4.3.20 besagt, dass die while-Schleife aus zentralen Schritten höchstens 2 √ s+2-mal durchlaufen wird (dasletzte Mal, um festzustellen, dass kein zunehmender Pfad exisitiert). Wennwir jeden zentralen Schritt mit Aufwand O(|E| + |V |) durchführen können,erhalten wir eine Gesamtkomplexität von O( √ |V |(|E| + |V |)), denn s ≤|V |/2.Wir behandeln den zentralen Schritt jetzt für den Fall eines bipartiten GraphenP = (V, E) mit V = B ∪G. Dazu sei M ⊆ E das vorliegende Matching.Zu P definieren wir den gerichteten Graphen D = (V, Ē), indem wir denKanten Richtungen geben:Ē = {(u, v) | {u, v} ∈ M, u ∈ B, v ∈ G}∪ {(v, u) | {u, v} ∈ E \ M, u ∈ B, v ∈ G}.Jeder zunehmende Pfad bzgl. M ist damit ein gerichteter Pfad in D, dervon einem freien ’girl’ (v ∈ G) zu einem freien ’boy’ (u ∈ B) führt. Wirkonstruieren eine Teilgraphen ˆD von D, dessen gerichtete Pfade von freiengirls zu freien boys genau den kürzesten zunehmenden Pfaden bzgl. M (in D)entsprechen. Dazu konstruieren wir ‘umgekehrte’ Levelmengen L 0 , L 1 , L 2 , . . ..L 0 = {u ∈ B, u ist frei } freie boysE i = {(u, v) | (u, v) ∈ Ē, v ∈ L i, u ∉ L 0 ∪ . . . ∪ L i },L i+1 = {u ∈ V | ex. v ∈ V mit (u, v) ∈ E i },i = 0, 1, 2, . . .Sei i ∗ die kleinste Zahl i mit L i ∩ { freie girls } ≠ ∅, und setze ˆD = ( ˆV , Ê)mitˆV =Ê =i⋃∗ −1i=0i ∗ −2L i ∪ (L i ∗ ∩ { freie girls }) ,⋃E i ∪ {(u, v) | (u, v) ∈ E i ∗ −1, u ist freies girl }.i=0(s. Abbildung 4.3.)4.3.23 LemmaˆD hat folgende Eigenschaften:141