Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

1.3. DIE LDU-ZERLEGUNG FÜR VOLLE MATRIZEN” ⇐“ Algorithmus 1.3.3 durchführbar, d.h. ã kk ≠ 0 für k = 1, . . . , n. Es folgtP A = LDU ⇐⇒ A = P −1 LDU ist regulär. (Da P −1 , L, D, U regulär).⇒“ Angenommen, es existiert (kleinstes) k mit ã(k)”kkfür i = k, . . . , n und damit die Matrix⎡∗ ∗ ∗ □ □ □∗ ∗ □ □ □0 ∗ □ □ □0 . . . . . . 0 □ □Ã (k) =⎢⎣. □ □0 □ □= 0 Dann ist ã(k)ik = 0singulär, denn Spalte k ist linear abhängig von Spalten 1 bis k−1. Damitist auch A (k) singulär und wegen (1) auch A (k−1) , A (k−2) , . . . , A (1) .⎤⎥⎦1.3.8 Bemerkung□a) ”Verschiedene“ Dreieckszerlegungen entstehen durch verschiedene ”Klammerung“in P A = LDU, z.B.P A = L(DU)” Gauß-Zerlegung“A = A T :{A = (LD 1 2 )(D 1 2 U)A = LDU, U = L T” Cholesky-Zerlegung“(U = LT )wurzelfreie Cholesky-Zerlegung“.”b) Die Berechnung der LDU-Zerlegung P A = LDU ist der aufwändigeBestandteil eines direkten Gleichungslösers. Man erhält x in Ax = bdurch⇐⇒⇐⇒Lz = P bDy = zUx = yP Ax = P bLDUx = P b” Dreieckssystem“, O(n2 )Diagonalsystem“, O(n)”” Dreieckssystem“, O(n2 ).c) Zur Vereinfachung formulieren wir jetzt weitere Faktorisierungsalgorithmenohne Pivotisierung, d.h. es ist P A = A = LDU.26