Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

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$Mathematik und Naturwissenschaften Prof. Dr. H. Pecher Dipl. Math ...$

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4.4. B-REDUZIBLE NORMALFORMBeweis:˜π ∈ Π(AQ T ) ⇐⇒ (AQ T )˜π(i),i ≠ 0, i = 1, . . . , n⇐⇒⇐⇒⇐⇒A˜π(i),σ(i) ≠ 0, i = 1, . . . , nA˜π(σ −1 (i)),i ≠ 0, i = 1, . . . , n˜π ◦ σ −1 ∈ Π(A)⇐⇒ ˜π = π ◦ σ, π ∈ Π(A) (π = ˜π ◦ σ −1 ).4.4.6 FolgerungSei B = P AQ T eine BRNF von A, τ sei Transversale von A, T zugehörigePermutationsmatrix. AusB = P AQ T = (P T T )(T A)Q T (T T = T −1 )ergibt sich nach Folgerung 4.4.4, dass B ′ = T ′ (T A)Q T mit T ′ ̂= Transversalevon (T A)Q T dieselbe Struktur (4.4.1) hat wie B, also auch BRNF ist. Es istid Transversale von T A, nach Lemma 4.4.5 also id ◦ σ (σ ̂= Q) Transversalevon (T A)Q T . Insbesondere kann also T ′ = Q gewählt werden <strong>und</strong>Q(T A)Q T = B ′′besitzt die selbe Struktur (4.4.1) wie B ′ , B.4.4.7 FolgerungJede BRNF von A ergibt sich also als Q(T A)Q T für jede Transversale T .Die ”Freiheiten“ bei den BRNF sind also neben der Wahl von T dieselbenwie bei RNF (Satz 4.4.1). Insbesondere ist die BRNF in diesem Sinne ”imWesentlichen“ eindeutig. Sie wird berechnet durch die beschriebene 2-Stufen-Methode1) bestimme Transversale τ ↔ T ,2) bestimme RNF von T A.□4.4.8 Beispiel⎡A =⎢⎣0 × × × 0× 0 0 × ×0 0 × 0 00 0 0 × ×0 × 0 × 0⎤⎥⎦147
4.4. B-REDUZIBLE NORMALFORMz1z2z3z4z5s1s2s3s4s5Abbildung 4.4: P (A) für A aus Beispiel 4.4.8Abbilding 4.4 zeigt P (A). Man erkennt: Eine Transversale ist τ mit τ(1) =4, τ(2) = 1, τ(3) = 3, τ(4) = 5, τ(5) = 2. Damit ergibt sich⎡⎤× 0 0 × ×0 × 0 × 0T A =⎢ 0 0 × 0 0⎥⎣ 0 × × × 0 ⎦0 0 0 × ×D(T A):15234Digraph D(TA)Starke Komponenten von D(T A):C 1 = {1}, C 2 = {2, 4}, C 3 = {3}, C 4 = {5}.Umgekehrte topologische Sortierung des Quotientengraphen z.B.:C 3 , C 2 , C 4 , C 1148
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Literatur[1] Duff, I., Erisman, A.,
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KAPITEL 1Dünn besetzte Matrizen:Da
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1.1. DÜNN BESETZTE VEKTOREN1.1.3 A
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1.1. DÜNN BESETZTE VEKTOREN1.1.6 A
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Abschnitt 1.2Dünn besetzte Matrize
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1.2. DÜNN BESETZTE MATRIZENb) Wede
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1.2. DÜNN BESETZTE MATRIZENwhile j
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1.2. DÜNN BESETZTE MATRIZENBei (ze
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1.2. DÜNN BESETZTE MATRIZENAufwand
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Abschnitt 1.3Die LDU-Zerlegung für
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1.3. DIE LDU-ZERLEGUNG FÜR VOLLE M
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KAPITEL 2Dünn besetzte spd-Matrize
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Abschnitt 2.2Numerische PhaseWir ä
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2.2. NUMERISCHE PHASE2.2.2 Bemerkun
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Abschnitt 2.3Symbolische Phase für
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2.3. SYMBOLISCHE PHASE FÜR DIE LDL
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2.3. SYMBOLISCHE PHASE FÜR DIE LDL
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Abschnitt 3.1Grundbegriffe aus der
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3.1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER GRAPHENT
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3.2. REDUKTION DES PROFILS1 2 3 4 5
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3.2. REDUKTION DES PROFILSG(P AP T
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3.2. REDUKTION DES PROFILSZugehöri
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3.2. REDUKTION DES PROFILSoder(3.2.
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3.2. REDUKTION DES PROFILSC = RAR T
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3.2. REDUKTION DES PROFILS= min{l(k
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3.2. REDUKTION DES PROFILS3.2.18 Al
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3.2. REDUKTION DES PROFILS1 2 5 8 1
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3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDN
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3.4. ONE-WAY-DISSECTION UND NESTED
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