Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.2. DIGRAPHENBeispiel: Für D aus Beispiel 4.2.2 ist |D|✉ 13✉✉24.2.5 Definitiona) Die Begriffe verbindbar, Kantenzug und Zyklus werden für Digraphen— jetzt mit gerichteten Kanten — analog zu ungerichteten Graphendefiniert. (Ausnahme: Zyklen können jetzt bereits Länge 2 haben.)b) D heißt zusammenhängend, wenn |D| zusammenhängend ist. Zusammenhangskomponentenentsprechend.Beobachtung: Besitzt A die Block-Dreiecksgestalt⎡⎤A 11 0⎢A = ⎣.. ..⎥⎦A N1 . . . A NNmit A ii ∈ R n i×n i, ∑ ni=1 n i = n, so lässt sich Ax = b ”blockweise“ lösen durch(x = (x 1 , . . . , x N ), x i ∈ R n i)for i = 1 to N do∑i−1löse A ii x i = b i − A ij x jend forj=1Wir benötigen also nur die LDU-Faktorisierung der Diagonalblöcke A ii .4.2.6 DefinitionA ∈ R n×n heißt irreduzibel, wenn (n = 1 und A ≠ 0) oder im zugehörigenDigraphen D(A) jeder Knoten i mit jedem Knoten j ≠ i verbindbar ist.Andernfalls heißt A reduzibel.4.2.7 LemmaDie folgenden Aussagen sind äquivalent für n ≥ 2:117