Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

5.2. DICHTE DIAGONALBLÖCKE UND GROSSE EINTRÄGE5.2.4 DefinitionG = (V, E, w) sei ein gewichteter Graph und γ ∈ R. Dann ist G| >γTeilgraphderG| >γ := (V, E| >γ , w) mit E| >γ := {(i, j) ∈ E | w ((i, j)) > γ} .5.2.5 LemmaSei A ∈ R n×n und G(A) = (V, E, w) mit w((i, j)) = |a ij |. Dann istG(A >γ ) = G| >γ .Die folgende Idee kommt aus der Diplomarbeit David Fritzsche (2004).5.2.6 DefinitionSei A ∈ R n×n , G(A) der Graph und γ ∈ R. Dann istdeg | >γ (p) im Graphen G(A) := deg(p) im Graphen G(A >γ )Entsprechend ist deg | >γPerklärt.5.2.7 DefinitionG(A) = (V, E) sei der Graph von A ∈ R n×n , P ⊂ V , p ∈ V \ P and γ, ζ ∈ R.Die TPABLOx-Bedingung lautet(5.2.3) deg | >γP (p) ≥ ⌈deg | P (p) · ζ⌉ .γ ist der Schwellenparameter und ζ der Anteilsparameter.5.2.8 LemmaSei G = (V, E) der Graph von A, P ⊂ V . Für alle j ∈ V \ P und γ ≥ 0 giltdeg >γP(j) = Anzahl der i ∈ P mit |a ij| > γ oder |a ji | > γMit der TPABLOx-Bedingung (5.2.3) bekommt man die TPABLO1-Bedingung(5.2.1) und die TPABLO2-Bedingung (5.2.2) unter einen Hut.5.2.9 Lemma(i) Für 0 < ζ < 1/(2n − 1) ist (5.2.3) äquivalent zu (5.2.1).(ii) Für ζ = 1 ist (5.2.3) äquivalent zu (5.2.2).Zugehöriger Algorithmus: Modifikation von PABLO, wobei (5.2.3) zusätzlichgefordert wird, s. Zeile 9.175