Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

Abschnitt 4.6Markowitz-StrategieAusgangspunkt sei wie in Abschnitt 4.5. Bei der Markowitz-Strategie wirdGauß-Elimination mit Spalten- und Zeilen-Pivotsuche verwendet.4.6.1 Algorithmus(Gauß-Elimination mit beidseitiger Pivotsuche, explizite Vertauschungen.)for k = 1 to n − 1 dobestimme Pivotelement a (k)st in A (k) (k : n, k : n) {Pivotwahl}vertausche Zeilen k und s sowie die Spalten k und t in A (k) , ergibt Ã(k) .for i = k + 1 to n dol ik = ã (k)ik /ã(k) kkend forfor i = k + 1 to n dofor for j = k + 1 to n doa (k+1)ijend forend forend for= ã (k)ij− l ik ã (k)kjBestimmt wird also P AQ T = LU, P, Q Permutationsmatrizen.Bemerkung: Wählt man |a (k)st | =nij | (vollständige Pivotsuche, ist O(n2 )-maxi,j=k |a(k)Falle), so gilt für den Wachstumsfaktor:√(Wilkinson, 1961)4.6.2 Definitionρ ≤n · 2 1 · 3 1 2 · 4 1 3 . . . n 1n−1 ·nmaxi,j=1 |a ij|.r (k)i = |struct(A (k) (i, k : n))| (Anzahl der Nichtnullen in Zeile i)c (k)j = |struct(A (k) (k : n, j))| (Anzahl der Nichtnullen in Spalte j)