Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDNUNG3.3.27 SatzSei x ≠ y ∉ S, x, y nubS. Weiter besitze x minimalen Grad im entsprechendenEliminationsgraphen, d.h.|Reach(x, S)| ≤ |Reach(z, S)| ∀z ∈ T.Sei S ′ = S ∪ {x}, T ′ = T {x}. Dann besitzt y minimalen Grad im nächstenEliminationsgraphen, d.h. es giltBeweis: Es giltAlso gilt für z ∈ T|Reach(y, S ′ )| ≤ |Reach(z, S ′ )| ∀z ∈ T ′ .Reach(y, S ′ ) = Reach(y, S) {x} (da x, y nubS)|Reach(y, S ′ )| = |Reach(y, S)| − 1= |Reach(x, S)| − 1≤ |Reach(z, S)| − 1≤ |Reach(z, S ′ )|.□Folgerung: Wird x = π(k) als Knoten mit minimalem Grad gefunden, kannman für die MD-Anordnung als nächstes alle Knoten y mit x, y nubS k wählen.Es entfällt also die Suche nach Knoten mit kleinstem Grad.Wie findet man nub-Knoten einfach? Für die Praxis benötigt man nicht notwendigalle. Das folgende Kriterium hat sich bewährt.3.3.28 SatzSei S ⊆ V , C 1 , C 2 zwei Zusammenhangskomponenten von G| S . Sei R 1 =adj(C 1 ), R 2 = adj(C 2 ). Dann sind alle Knoten y mity ∈ Y = {y ∈ R 1 ∩ R 2 : adj(y) ⊆ R 1 ∪ R 2 ∪ C 1 ∪ C 2 }nubS und Reach(y, S) ∪ {y} = R 1 ∪ R 2 .Beweis:” ⊆“: y ∈ R 1 ∩ R 2 ⇒ y ∈ R 1 ∪ R 2 . Sei z ∈ Reach(y, S) und (y, s 1 , . . . , s m , z)der zugehörige Kantenzug. Falls m = 0, istz ∈ adj(y) S ⊆ R 1 ∪ R 2 ∪ C 1 ∪ C 2 S ⊆ R 1 ∪ R 2 .Falls m > 0, ist s 1 ∈ adj(y)∩S ⊆ C 1 ∪C 2 . Also ist {s 1 , s 2 , . . . , s m } ⊆ C 1oder ⊆ C 2 . Also z ∈ R 1 ∪ R 2 .86