Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.1. GRUNDBEGRIFFE AUS DER GRAPHENTHEORIEc) Die von den Äquivalenzklassen bezüglich ”verbindbar mit“ induziertenTeilgraphen von G heißen Zusammenhangskomponenten.3.1.7 BeispielDer Graph aus Beispiel 3.1.5 c) besitzt drei Zusammenhangskomponenten.3.1.8 SatzFür A ∈ R n×n , A = A T besitze G(A) die m Zusammenhangskomponenten(V i , E i ), i = 1, . . . , m. Es sei π eine Permutation der Menge {1, . . . , n}, dienach Zugehörigkeit zu den V i sortiert, d.h. es gelte∑i−1V i = {π(j i + 1), . . . , π(j i+1 )} mit j i = |V l |.Sei P die zugehörige Permutationsmatrix. Dann besitzt die Matrix P AP Tdie Blockdiagonalgestalt:⎛⎞P AP T =⎜⎝l=1= diag(B 1 , . . . , B m )⎟⎠mit B i ∈ R |V i|×|V i | , i = 1, . . . , m.Beweis: Eigentlich trivial. Für einen formalen Beweis:M i = {j i + 1, . . . , j i+1 }also π(M i ) = V iSind nun i, j so, dass i ∈ M l , j ∈ M k mit l ≠ k, so gilt π(i) ∈ V l , π(j) ∈ V k .Nach Voraussetzung ist dann 0 = a π(i),π(j) = (P AP T ) ij□Beim Lösen eines linearen Gleichungssystems kann man sich also auf dieeinzelnen Diagonalblöcke beschränken.Wie findet man Zusammenhangskomponenten? Mit den üblichen Technikenzum Durchlaufen eines Graphen.49