Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.6. MARKOWITZ-STRATEGIEBeweis: Teil a) und b) sind im Wesentlichen aus Info II bekannt. Teil c)wurde als Algorithmus 1.2.10 für das erweiterte Listenformat angegeben, fürDCEL geht er genau so. Teil d) ist klar (man durchlaufe die Zeile/Spalte).Teil e) ergibt sich, wenn man für die Aufdatierung einer jeden Zeile j eineVariante des SAXPY-Algorithmus 1.1.6 durchführt: scatter k-te Zeile von Ain (vollen) Hilfsvektor w, durchlaufe Zeile j und datiere sie auf, verlängereZeile j um die fill-in Beiträge, setze dabei w auf Null zurück; AufwandO(r k + r j ). Wenn man bei der Berechnung der Fill-ins gleichzeitig r j und diebetroffenen c j aufdatiert, jeweils mit Aufwand O(1) und jeweils mit AufwandO(1) die Markowitz-Liste abändert, ergibt sich für f) ein Aufwand von r k proaufdatierte Zeile, also pro Schritt O(r k c k ).?□Bemerkungen:• Die doppelte Verkettung der Listen ist für unsere Zwecke eigentlichnicht nötig. Es genügt eine ”SCEL“, d.h. avorgaund evorgkönnen entfallen.• Im k-ten Schritt der Gauß-Elimination benötigen wir die Matrix A (k)mit entsprechend verkürzten Zeilen und Spalten. Das haben wir in unsererNotation nicht berücksichtigt. Praktisch wird beim Abspeicherndes Resultats des SAXPYs so vorgegangen: Beiträge zur k-ten Spaltewerden mit dem entsprechenden Wert für L überschrieben und aus derZeilenliste entfernt, nicht aber aus der Spaltenliste. Am Ende enthaltenso die Spaltenlisten also L, die Zeilenlisten enthalten U, die DiagonaleD wird extra gespeichert.162