Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.1. SCHWELLEN-PIVOTWAHLρ =nmaxi,j=1 ρ ij” Wachstumsfaktor“ρ ist ein Maß für die Rückwärts-Stabilität der Gauß-Elimination (Satz 1.3.19).4.1.2 SatzBei Schwellen-Pivotwahl giltρ ≤(1 +u) 1 n−1n· max |a ij|.i,j=1Die obere Schranke wird auch angenommen.Beweis: Übungsaufgabe.□Für dünn besetzte Matrizen ist dieses Resultat aber viel zu pessimistisch.4.1.3 SatzEs sei P A = LDU berechnet mit Algorithmus 4.1.1, Schwellenparameter u.Für j = 1, . . . , n sei p j die Zahl der Nichtnullen in U·j , exlusive Diagonale,also 0 ≤ p j ≤ j − 1. Weiter seiρ (k)j = maxni=1 |a(k) ij| j, k = 1, . . . , n.Dann gilta) ρ (k+1)j{≤ (1 + 1 u ρ(k) j ) falls j ≥ k + 1 und a (k)sj ≠ 0 (s: Pivotzeile)= ρ (k)j sonst,b) ρ (k)j ≤ (1 + 1 u )p jρ (1)j ,(c) ρ ≤Beweis:nmaxj=1(1 + 1 u) pj)nmaxi,j=1 |a ij|.a): Obere Zeile erhält man wie Satz 4.1.2, siehe also Übung. Untere Zeile:Ist j ≤ k oder a s (k)j= 0, so bleibt die j-te Spalte von A (k) unverändertbei Transformation A (k) A (k+1) (bis auf die Vertauschung von zweiZeilen), also ist ρ (k+1)j = ρ (k)j .b): folgt aus a), wenn man weiß, für wieviele k bei festem j jemals a (k)sj ≠ 0ist. Da nach dem Vertauschen a (k)sj ≠ 0 in Zeile k gelangt (und dann113