Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

3.3. DIE MINIMUM-DEGREE (MD)-ANORDNUNGWir wollen im Detail ausarbeiten, wie man die Folge der G k algorithmischbestimmt. Wir weisen zuerst nach, dass man keinerlei zusätzlichen Speicherbraucht als für G 1 .3.3.18 LemmaSei G = (V, E), C ⊆ V so, dass G| C zusammenhängend ist. Dann gilt∑|adj(x)| ≥ |adj(C)| + 2(|C| − 1).x∈CBeweis: Die Kantenmenge von G| C bezeichnen wir mit V C . In ∑ x∈C |adj(x)|wird jede Kante aus V C zweimal gezählt, jede andere Kante (von C nachV C) nur einmal. Also gilt∑|adj(x)| = 2|V C | + |adj(C)|.x∈CWeil G| C zusammenhängend ist, ist V C ≥ |C| − 1.□3.3.19 LemmaFür y ∈ T k = {1, . . . , n} S k gilt|adj Gk−1 (y)| ≥ |adj Gk (y)|.Beweis: Übungsaufgabe 24.1).□3.3.20 SatzFür die Quotienten-Eliminationsgraphen G k = (V k , E k ) gilt|E k+1 | ≤ |E k | ≤ |E|, k = 1, . . . , n − 1.Beweis: k = 1 ist ok, da G 1 = G 1 . Die Behauptung gelte für k − 1. Sei π knächster Pivotknoten.1. Fall: π k ∉ adj Gk (C(S k ))und E k+1 = E k .2. Fall: π k ∈ adj Gk (C(S k ))⇒ C(S k+1 ) = C(S k ) ∪ {{π k }}⇒ C(S k ) = {[x 1 ], . . . , [x l ]}; C(S k+1 ) = {[x 1 ], . . . , [x m ], [y]},78