Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.3. STRUKTURELLE SINGULARITÄT UND TRANSVERSALEaus M. Dieser Pfad hat eine Gesamtlänge von höchstens 2 · ⌊r/(s − r)⌋ + 1.□Uns interessieren die Längen kürzester zunehmender Pfade.4.3.19 SatzM sei ein Matching und p ein kürzester zunehmender Pfad bzgl. M und p ′ein zunehmender Pfad bzgl. M ⊕ p. Dann ist|p ′ | ≥ |p| + 2|p ∩ p ′ |.Beweis: Setze N = M ⊕ p ⊕ p ′ . N ist Matching mit |N| = |M| + 2. NachSatz 4.3.16 gibt es in M ⊕ N zwei knotendisjunkte zunehmende Pfade p 1 , p 2bzgl. M. Nach Lemma 4.3.14 ist M ⊕ N = p ⊕ p ′ und damit(4.3.2) |p ⊕ p ′ | ≥ |p 1 | + |p 2 | ≥ 2|p| (da p kürzester Pfad).Andererseits gilt für jede symmetrische Differenz |p⊕p ′ | = |p|+|p ′ |−2|p∩p ′ |.Dies ergibt|p ′ | = |p ⊕ p ′ | − |p| + 2|p ∩ p ′ | (4.3.2)≥ |p| + 2|p ∩ p ′ |.Wir wollen einen Algorithmus formulieren, der eine Folge von Matchings nachfolgendem algorithmischen Gerüst aufbaut:M 0 = ∅für i = 0, 1, . . .setze M i+1 = M i ⊕ p i , wobei p i kürzester zunehmender Pfad bzgl. M iSatz 4.3.19 zeigt, dass die Längen der p i immer größer werden. Es gilt sogar4.3.20 LemmaEs gilt im obigen Algorithmus(i) |p i | ≤ |p i+1 |(ii) für alle i ≠ j mit |p i | = |p j | sind p i und p j knotendisjunkt.Beweis: nur zu (ii): Angenommen, |p i | = |p j | für i < j und p i und p j sindnicht knotendisjunkt. Dann existieren zwei Indizes k, l mit i ≤ k < l ≤ jso dass |p k | = |p l |, p k und p l sind nicht knotendisjunkt, aber alle p m sindknotendisjunkt mit p k und p l , k < m < l. Der Pfad p l besitzt keine Kantenaus p k+1 , . . . , p l−1 . Damit ist p l ein zunehmender Pfad nicht nur bzgl. M l139□