Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

4.4. B-REDUZIBLE NORMALFORMBeweis:˜π ∈ Π(AQ T ) ⇐⇒ (AQ T )˜π(i),i ≠ 0, i = 1, . . . , n⇐⇒⇐⇒⇐⇒A˜π(i),σ(i) ≠ 0, i = 1, . . . , nA˜π(σ −1 (i)),i ≠ 0, i = 1, . . . , n˜π ◦ σ −1 ∈ Π(A)⇐⇒ ˜π = π ◦ σ, π ∈ Π(A) (π = ˜π ◦ σ −1 ).4.4.6 FolgerungSei B = P AQ T eine BRNF von A, τ sei Transversale von A, T zugehörigePermutationsmatrix. AusB = P AQ T = (P T T )(T A)Q T (T T = T −1 )ergibt sich nach Folgerung 4.4.4, dass B ′ = T ′ (T A)Q T mit T ′ ̂= Transversalevon (T A)Q T dieselbe Struktur (4.4.1) hat wie B, also auch BRNF ist. Es istid Transversale von T A, nach Lemma 4.4.5 also id ◦ σ (σ ̂= Q) Transversalevon (T A)Q T . Insbesondere kann also T ′ = Q gewählt werden undQ(T A)Q T = B ′′besitzt die selbe Struktur (4.4.1) wie B ′ , B.4.4.7 FolgerungJede BRNF von A ergibt sich also als Q(T A)Q T für jede Transversale T .Die ”Freiheiten“ bei den BRNF sind also neben der Wahl von T dieselbenwie bei RNF (Satz 4.4.1). Insbesondere ist die BRNF in diesem Sinne ”imWesentlichen“ eindeutig. Sie wird berechnet durch die beschriebene 2-Stufen-Methode1) bestimme Transversale τ ↔ T ,2) bestimme RNF von T A.□4.4.8 Beispiel⎡A =⎢⎣0 × × × 0× 0 0 × ×0 0 × 0 00 0 0 × ×0 × 0 × 0⎤⎥⎦147