Algorithmen auf Graphen und dünn besetzte Matrizen - Bergische ...

1.3. DIE LDU-ZERLEGUNG FÜR VOLLE MATRIZENb): Für i = 2, . . . , n gilt0 < a) b i−1,i−1 = a (2)ii= a ii − a 11 l 2 i ≤ a iiSei i ≠ j, a (2)ij ≠ 0 und y = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0, −sgn(a (2)ij ), 0, . . . , 0) ∈R n−1 . Dann gilt wegen a):0 < y T By = b i−1,i−1 + b j−1,j−1 − 2b i−1,j−1 sgn(a (2)ij )= b i−1,i−1 + b j−1,j−1 − 2|b i−1,j−1 |⇒ |b i−1,j−1 | ≤ 1 2 (b i−1,i−1 + b j−1,j−1 ) ≤ ρ.□Konsequenz: Für A spd ist ρ unabhängig von jeder Transformation A →P AP T , P Permutation. Diese Transformation kann bei d.b. Matrizen alsoausschließlich mit Blick auf den entstehenden Rechenaufwand gewählt werden.Blick nach vorn:⎛⎞⎛⎞x x . . . xxx x 0A = ⎜⎝ . 0 . .⎟ . ⎠ spd L = x x⎜⎝.. ..⎟⎠ ” voll“x xx . . . . . . x⎛⎞⎛⎞x xx 0.P AP T .. . 0 .= ⎜⎝ . ⎟0 .. . ⎠ spd L = ..⎜⎝ . ⎟0 .. ⎠ ” optimal“.x . . . . . . xx . . . . . . x34