Single-Particle Electrodynamics - Assassination Science

+ 1 12 r5 d ( ˙v·¨v) ˙v + 1 8 r5 d ˙v2 (n d· ˙v) ˙v + 1 12 r5 d (n d· ˙v)(n d·¨v) ˙v
+ 1 16 r4 d r s (n s· ˙v) ... v + 1
16 r4 d r s (n s·¨v)¨v + 1
48 r4 d r s (n s·... v) ˙v
+ 1 4 r4 d r s ˙v 2 (n s· ˙v) ˙v + 1 8 r4 d r s (n d· ˙v)(n s· ˙v)¨v + 1 12 r4 d r s (n d· ˙v)(n s·¨v) ˙v
+ 3 16 r4 d r s (n d· ˙v) 2 (n s· ˙v) ˙v + 1 8 r4 d r s (n d·¨v)(n s· ˙v) ˙v + 1 8 r3 d r 2 s (n s· ˙v) 2¨v
+ 3 16 r3 d r 2 s (n d· ˙v)(n s· ˙v) 2 ˙v + 1 8 r3 d r 2 s (n s· ˙v)(n s·¨v) ˙v
+ 1 16 r2 d r 3 s (n s· ˙v) 3 ˙v + O(ε 6 ). (G.40)
G.6.10
The retarded normal vector
We now compute the vector n, defined as
n ≡ R R ;
(G.41)
using (G.38), (G.39), (G.40) and (G.41), we find
n = n d − 1 2 r d ˙v + 1 2 r d(n d· ˙v)n d + 1 6 r2 d ¨v − 1 8 r2 d ˙v2 n d + 1 8 r2 d (n d· ˙v) 2 n d
− 1 6 r2 d (n d·¨v)n d + 1 4 r dr s (n s· ˙v) ˙v − 1 4 r dr s (n d· ˙v)(n s· ˙v)n d − 1 ...
24 r3 d v
− 1
16 r3 d ˙v2 ˙v − 1
16 r3 d (n d· ˙v) 2 ˙v + 1 16 r3 d (n d· ˙v) 3 n d + 1
24 r3 d (n d·... v)n d
+ 1 12 r3 d ( ˙v·¨v)n d + 1
16 r3 d ˙v2 (n d· ˙v)n d − 1
12 r3 d (n d· ˙v)(n d·¨v)n d
− 1 6 r2 d r s (n s· ˙v)¨v − 1
12 r2 d r s (n s·¨v) ˙v + 1 8 r2 d r s ˙v 2 (n s· ˙v)n d
+ 1 12 r2 d r s (n d· ˙v)(n s·¨v)n d − 1 8 r2 d r s (n d· ˙v) 2 (n s· ˙v)n d
+ 1 6 r2 d r s (n d·¨v)(n s· ˙v)n d − 1 8 r dr 2 s (n s· ˙v) 2 ˙v + 1 8 r dr 2 s (n d· ˙v)(n s· ˙v) 2 n d
+ 1
120 r4 d
....
v + 1 24 r4 d ˙v2¨v − 5
128 r4 d ˙v4 n d − 1
72 r4 d ¨v2 n d + 1
24 r4 d (n d· ˙v) 2¨v
+ 3
128 r4 d (n d· ˙v) 4 n d − 1
144 r4 d (n d·¨v)¨v + 1
48 r4 d (n d·¨v) 2 n d
455