Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 1. UNIVERSO CUÁNTICO 13
donde pj es la probabilidad de que ocurra el evento j.
Se puede ver que S(pj) ≥ 0 para toda distribución. S(pj) = 0 sólo cuando la ignorancia es
nula, y S(pj) = log k (máxima) cuando los k eventos son equiprobables.
En el caso de la mecánica cuántica, se puede definir la entropía de un estado a través de un
observable como
= − prob(an) log2 prob(an) (1.17)
S ρ,Â
n
La mínima entropía que se puede asociar a un estado cuántico, está dada por la de Von
Neumann
SV N = −T r(ρ log2 ρ) = −
(1.18)
donde λx son los autovalores de ρ.
x
λx log 2 λx
Para un estado puro SV N = 0, mientras que si se trata de un estado mixto SV N > 0. El
máximo valor de la entropía SV N = log(dim(H)), se obtiene cuando la matriz densidad es proporcional
a la identidad.
Muchas veces resulta poco práctico utilizar SV N, ya que requiere diagonalizar la matriz
densidad. En nuestro trabajo utilizaremos la entropía lineal definida como
Slin = − log 2[T r(ρ 2 )] (1.19)
Se puede demostrar que esta entropía es una cota inferior de la de Von Neumann y que
ambas coinciden en los extremos (estados puros y mixtos de máxima ignorancia).
La entropía de un subsistema de un estado puro, es igual a la del subsistema complementario.
Esto es consecuencia de la descomposición de Schmidt [1, 2].
con ρAB puro.
Slin A = − log 2 T r[(T rBρAB) 2 ] = − log 2 T r[(T rAρAB) 2 ] = Slin B
1.2. Mecánica Cuántica en Espacios de Fases
(1.20)
La mecánica cuántica puede ser formulada en el espacio de fases (q, p), en forma similar a la
física clásica. Esto, por ejemplo, permite estudiar en forma natural el límite semiclásico.
Una de las representaciones más comunes es la función de Wigner. Esta distribución es una
función real que contiene la misma información que la matriz densidad. Por lo tanto es posible
representar estados cuánticos y su evolución.
La función de Wigner fue formulada para espacios continuos y luego generalizada para espacios
discretos [24, 23, 25].
La función de Wigner continua generalmente se define como
W (q, p) =
dλ iλp
e ¯h 〈q − λ/2|ρ|q + λ/2〉 (1.21)
2π¯h