Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 4. EVOLUCIÓN DEL CAMINANTE Y DEL PANADERO 44
A través de las probabilidades se puede definir una cantidad que cuantifica la diferencia
entre dos distribuciones. Esta magnitud se denomina distancia variacional total ν12(t), y queda
definida como
ν12(t) = ||P1(n, t) − P2(n, t)|| =
M−1
n=0
|P1(n, t) − P2(n, t)| (4.1)
La caminata en el ciclo es similar a la de la línea infinitas hasta tiempos del orden de la
mitad de sitios.
En el límite de infinitos pasos la caminata aleatoria clásica en un ciclo de M sitios tiende a:
Plim(n) = 1
M para M impar (4.2)
2
Plim(n) = N si t + n + n0 par
para M par (4.3)
0 si t + n + n0 impar
En el caso de la caminata cuántica la probabilidad en función del tiempo para un sitio fijo
en el ciclo, es una función “quasi-periódica”, y por lo tanto típicamente no converge a ningún
límite. Promediando esta función en el tiempo, se puede definir la distribución promedio P (n, t)
dada por
P (n, t) = 1
t
t−1
t ′ =0
P (n, t ′ ) (4.4)
Una cantidad de las más relevantes que se observan en el ciclo es el tiempo de mezcla. Este
se define como la mínima cantidad de pasos que tiene que dar el caminante, de manera tal que
su distancia variacional total con una distribución de probabilidades límite sea siempre menor
a un valor dado.
En este trabajo no analizaremos el tiempo de mezcla debido a que nos focalizamos en la
línea, y además su cálculo (con el acoplamiento del panadero) requiere de mucho tiempo computacional.
4.1.2. Función de Wigner
En la figura 4.2 se muestra la evolución de la caminata Hadamard en un ciclo de 64 sitios.
El estado inicial es localizado en posición para el caminante y “simétrico” para la moneda.
A tiempos cortos, podemos clasificar las interferencias en dos tipos: las que se encuentran en
el centro, que se deben a superposiciones coherentes de estados posición; y las que se encuentran
en los bordes, que son producidas debido a las condiciones periódicas del ciclo. Estas últimas
pueden ser dejadas de lado si se quiere analizar sólo la línea infinita.