Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 3. MAPA DEL PANADERO 35
Los autovectores de la posición y del momento son respectivamente:
|qj〉 =
,
j = 0, 1, . . . , N − 1 (3.23)
|pk〉 = , k = 0, 1, . . . , N − 1 (3.24)
j+χq
N
k+χp
N
El cambio de base entre posición y momento (versión discreta de 3.21) define una matriz
unitaria. Esta matriz puede considerarse una transformada de Fourier discreta con ángulos de
Floquet:
1 2π
− i
〈qj|pk〉 = N 2 e N (j+χq)(k+χp) χq,χp
≡ (FN ) (3.25)
La elección de los ángulos de Floquet define las simetrías del toro:
La simetría de reversión temporal se define a través del intercambio entre p y q. T : p ↔ q.
Esta simetría se da sólo cuando χq = χp.
La simetría de paridad R existe cuando q → 1 − q, p → 1 − p. En el caso del toro discreto
esta simetría se cumple cuando χq + χp = 1.
3.3.2. Cuantización de la Dinámica
No existe un procedimiento sistemático para la cuantización de mapas. Se busca un operador
unitario U sobre el espacio de Hilbert construido, que tenga las mismas simetrías y propiedades
de la dinámica que el mapa clásico. Además es necesario que se recupere el mapa clásico
tendiendo N → ∞ y, en el caso de mapa del panadero, que la dimensión del espacio sea par.
Existen muchos trabajos en los que se explica detalladamente la cuantización del mapa del
panadero [12, 13, 14, 15].
En este caso para la cuantización del mapa utilizaremos la simplicidad de su dinámica simbólica
de corrimientos de Bernoulli. La cuantización se basa en el hecho de que la iteración del mapa
produce que el bit más significativo en posición pasa a ser el más significativo en momento.
Escribimos al mapa en una representación mixta, donde actúa sobre las coordenadas y su
acción queda expresada en momentos. Se pide que el bit más significativo sea el mismo antes y
después del mapa, y que el resto sea cambiado de base con la transformada de Fourier discreta.
En notación matricial y circuital el mapa queda escrito como:
B χq,χp
mixto =
⎛
⎝
χq,χp
F N 0
2
0 F χq,χp
N
2
FN 2
⎞
⎠ (3.26)
Figura 3.3: Circuito del mapa del Panadero en representación mixta
Para representar el mapa en posición sólo es necesario antitransformar Fourier todos los bits:
) −1
⎛ χq,χp
F N
⎝ 2
0
⎞
⎠ (3.27)
B χq,χp
pos
= (F χq,χp
N
0 F χq,χp
N
2