Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 2. CAMINATA CUÁNTICA 25
Si partimos de un estado inicial producto entre el caminante y la moneda, podemos escribir
a la matriz densidad inicial como:
por lo tanto, su evolución es:
ρcm(t) =
=
N−1
k,k ′ =0
N−1
k,k ′ =0
ρcm(0) =
N−1
k,k ′ =0
ck,k ′|k〉〈k′ | ⊗ ρm(0) (2.31)
ckk ′U σz H . . . U σz H|k〉〈k ′ | ⊗ ρm(0)HU −σz . . . HU −σz (2.32)
ckk ′|k〉〈k′ | ⊗ (Mk) t ρm(0)(M † t
k ′)
donde se ha utilizado que U es diagonal en base de momento, y por lo tanto:
donde se define a ϕk = 2πk
N
con
U σz
2π
−i
H|k〉c|l〉m = |k〉ce N kσzH|l〉m ≡ |k〉cMk|l〉m
2π
−i
Mk ≡ e N kσz H = 1 √
2
e −iϕk e −iϕk
e iϕk −e iϕk
De esta manera el estado del sistema para un dado tiempo se puede escribir como:
ρc(t) =
N−1
k, k ′ =0
(2.33)
(2.34)
(2.35)
ckk ′f(k, k′ , t)|k〉〈k ′ | (2.36)
f(k, k ′ , t) = T rm[(Mk) t ρm(0)(M †
k ′) t ] (2.37)
La probabilidad de hallar al caminante en el estado |n〉 es:
P (n, t) = T rc[ρc(t)|n〉〈n|] = 〈n|ρc(t)|n〉 (2.38)
= 1
N
N−1
k,k ′ =0
ckk ′f(k, k′ 2π
i
, t)e N n(k−k′ )
(2.39)
La resolución de la Caminata Hadamard se reduce a hallar f(k, k ′ , t). Esto se puede hacer
analíticamente si se encuentran los autovectores y autovalores de Mk y se escribe el estado inicial
de la moneda en esa base [6].
La resolución de la Caminata a través de la función f(k, k ′ , t), permite una fácil generalización
a otros tipos de monedas. Más adelante veremos que la expresión (2.36) puede utilizarse en el
caso de un mapa cuántico actuando como moneda.
2.3. Decoherencia en el Caminante
En este trabajo compararemos nuestros resultados de la caminata acoplada al caminante con
un modelo de decoherencia.