Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 2. CAMINATA CUÁNTICA 21
Los autovectores normalizados son:
Φ 1 k = 1
1
√
2 1 + cos2 (k) − cos(k) 1 + cos2 Φ
(k)
2 k = 1
1
√
2 1 + cos2 (k) − cos(k) 1 + cos2
(k)
Si partimos de un estado inicial en un único sitio n0:
Ψ(n, 0) =
a0 δn,n0
a1 δn,n0
⇒ ˜ Ψ(k, 0) =
e −ik
√ 2e −iωk − e −ik
e −ik
− √ 2e iωk − e −ik
se obtienen las siguientes amplitudes de onda en función del tiempo:
Ψ0(n, t) =
Ψ1(n, t) =
1 + (−1)n0+n+t
2
π
−π
a0
a1
dk cos(k)
1 + ×
2π 1 + cos2 (k)
(2.15)
(2.16)
e in0k ∀k (2.17)
× e i(k(n0−n)−ωkt)
[(a0 − a1) + √ 2a1e i(ωkt−k)
] (2.18)
1 + (−1)n0+n+t
π
dk cos(k)
1 + ×
2
−π 2π 1 + cos2 (k)
× e i(k(n0−n)−ωkt) [(a0 − a1)e ik + √ 2a1e iωkt ] (2.19)
Las expresiones 2.18 y 2.19 son exactas y el problema de la Caminata Hadamard queda
resuelto, aunque las integrales no pueden resolverse en forma analítica. Simulaciones numéricas
permiten obtener la distribución de probabilidades para la Caminata Cuántica y compararla con
la versión clásica.
Figura 2.1: Distribución de probabilidades para el caminante luego de 100 iteraciones. En gris se ve la
caminata aleatoria clásica y en negro la caminata Hadamard con la moneda en estado inicial |ϕ0〉 = |0〉.
Sólo son graficados los sitios pares, ya que ambas probabilidades en los impares son nulas.