Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 2. CAMINATA CUÁNTICA 24
2.2.3. Matriz Densidad en la Caminata
Una formulación alternativa para la resolución de la caminata cuántica, es a través de la
matriz densidad [6, 7]. Esta formulación presenta ventajas en el cálculo, debido a las herramientas
formales desarrolladas por la computación cuántica, y permite ampliar en forma natural el
espacio de la moneda.
En esta descripción, la evolución de la matriz densidad del caminante y la moneda en cada
paso, está dada por un operador unitario.
ρcm(t + 1) = Mρcm(t)M †
(2.22)
|Ψcm(t + 1)〉 = M|Ψcm(t)〉 (2.23)
donde ρcm es la matriz densidad del sistema total en un espacio de Hilbert H = Hc ⊗ HM y M
es un operador que actúa sobre ese espacio tal que M −1 = M † .
En el caso de la caminata Hadamard la evolución en cada paso es la siguiente:
ρcm(t + 1) = U σz Hρcm(t)HU −σz (2.24)
donde H (Hadamard) y σz actúan sobre el espacio de la moneda y U sobre el del caminante.
U es el operador traslación en posición y actúa sobre el caminante en la línea como U|n〉 = |n+1〉.
El operador U σz actúa sobre el espacio total y puede interpretarse como una traslación del
caminante controlada por el estado de la moneda:
U σz |n, 0〉 = U|n, 0〉 = |n + 1, 0〉 (2.25)
U σz |n, 1〉 = U −1 |n, 1〉 = |n − 1, 1〉 (2.26)
En el caso de la resolución de la caminata cuántica realizada por Nayak y Vishwanath se
utilizó como operador sobre el espacio de la moneda a H ′ = 1
−1 1
√ , que no es más que
2 1 1
una rotación sobre H. En ambos casos, si el operador se aplica sobre el estado |0〉 ó |1〉 se obtiene
una superposición coherente equipesada entre estos estados. Esto concuerda con nuestra noción
de “tirada de moneda” clásica.
En el caso del “anillo” o el ciclo, el operador U actúa de la siguiente manera:
U|n〉 = |n + 1(modN)〉 en base posición (2.27)
k
−i2π
U|k〉 = e N |k〉 en base de momentos (2.28)
donde |n〉 representa las posiciones discretas del anillo (|n〉, n = 0, 1, . . . , N − 1) con N = dim(Hc).
La base de momentos (|k〉, k = 0, 1, . . . , N − 1) se relaciona con la base de coordenadas por
medio de la transformada de Fourier discreta:
|n〉 = 1
N−1
√
n
n=0
|k〉 = 1
N−1
√
n
n=0
2πnk
i
e N |k〉 (2.29)
2πnk
−i
e N |n〉 (2.30)
Para resolver la Caminata Hadamard es conveniente utilizar la base de momentos, ya que
en ella la traslación es diagonal.