Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 3. MAPA DEL PANADERO 31
Un sistema dinámico con tiempo continuo de N variables puede reducirse a un mapa de N −1
variables a través de una sección de Poincaré o de una secuencia de vistas estroboscópicas.
Cuando un sistema no lineal presenta un grado de complejidad tal que la evolución de un
estado parece ser aleatoria, y que la misma depende fuertemente de las condiciones iniciales,
se dice que el sistema es caótico. El comportamiento caótico en un sistema dinámico continuo
puede encontrarse para sistemas de al menos tres grados de libertad, mientras que para un mapa
son necesarios, pero no suficientes, por lo menos dos grados de libertad.
Dentro de los sistemas dinámicos podemos distinguir a los sistemas lineales que son los más
sencillos de analizar.
Si se quiere analizar un mapa no lineal, se puede caracterizar su comportamiento a través
de análisis local alrededor de ciertos puntos. Este procedimiento es útil también para encontrar
resultados globales en problemas no lineales.
Desarrollando el mapa a primer orden alrededor del punto x0, se obtiene:
donde DF es la matriz Jacobiana.
F (x0 + δx) = x0 + DF (x0)δx (3.2)
Definimos x (t) y δx (t) como la evolución del punto y de su desplazamiento:
Por lo tanto:
con
El factor |δx(t) |
|δx|
x (t) = F t ( x0) (3.3)
δx (t) = F t ( x0 + δx) − F t ( x0) (3.4)
δx (t+1) = DF (x (t) )δx (t)
(3.5)
δx (t) = DF t (x0)δx (3.6)
DF t (x0) = DF (x (t−1) )DF (x (t−2) ) . . . DF (x (1) )DF (x0) (3.7)
da una medida de la evolución de dos puntos muy cercanos. A partir de este
factor se define el exponente de Lyapunov de la siguiente manera:
1
λ(x0, δx) = lím
t→∞ t ln
|δx (t) |
(3.8)
|δx|
1
= lím
t→∞ t ln
|DF t (x0)δx|
(3.9)
|δx|
Este exponente caracteriza la dependencia del problema a las condiciones iniciales. Para
λ > 1, dos puntos cercanos inicialmente se separan, mientras que para λ < 1, se acercan.
Se conoce como punto fijo a las coordenadas en el espacio de fases tales que permanecen
constante bajo la acción del mapa. En el caso de que el mapa sea una sección de Poincaré de un
flujo, el punto fijo del mapa corresponde a una órbita periódica de ese flujo.
Las órbitas periódicas del mapa de período T, son los T puntos que se repiten ante T
iteraciones del mapa. Por ejemplo un punto fijo es una órbita periódica del mapa con período 1.