Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 5. CAMINATA ACOPLADA A PANADERO 55
Utilizando esta expresión para las probabilidades podemos calcular los valores medios de las
potencias del operador posición.
x m
dk
〈ˆx m 〉t = 1
(2π) 2
Por otro lado, la delta de Dirac se escribe como:
x
i m δ (m) (k − k ′ ) = 1
2π
dk ′ e −1x(k−k′ ) 〈Φ0|( ˆ M †
k )t ( ˆ
Mk ′)t |Φ0〉 (5.9)
x
x
m e −ix(k−k′ )
(5.10)
Usamos este resultado en (5.9) e integramos por partes:
〈ˆx m 〉t = im
2π
dk〈Φ0|( ˆ M †
k )t
dm dkm ( ˆ Mk) t
|Φ0〉 (5.11)
Si definimos el operador ˆ Z ≡ ˆ PR − ˆ PL = ˆ1 − 2 ˆ PL:
El valor medio de ˆx y ˆx 2 quedan expresados como:
〈ˆx〉t = 1
2π
〈ˆx 2 〉t = 1
2π
t
j=1
t
j=1 j ′ =1
d ˆ Mk
dk = −i ˆ Z ˆ Mk (5.12)
dk〈Φ0|( ˆ M †
k )j ˆ Z( ˆ Mk) j |Φ0〉 (5.13)
t
dk〈Φ0|( ˆ M †
k )jZ( ˆ Mk) ˆ j−j ′ Z( ˆ Mk) ˆ j ′
|Φ0〉 (5.14)
Reescribimos el estado inicial |Φ0〉 en la base de autoestados de ˆ Mk y luego de t pasos
obtenemos:
( ˆ Mk) t |Φ0〉 =
ckl|φkl〉e iθklt
(5.15)
La ecuación (5.13) en esta base es:
〈ˆx〉t = t − 1
π
l
dk
l, l ′
c ∗ klckl ′〈φkl| ˆ PL|φkl ′〉
t
e
j=1
i(θkl ′−θkl)j
(5.16)
Si la matriz unitaria ˆ Mk es no degenerada, entonces la mayoría de los términos de (5.16) son
oscilatorios, y por lo tanto su promedio da cero. Sólo los términos diagonales no oscilan. Por lo
tanto podemos escribir
〈ˆx〉t = C1t (+términos oscilatorios) (5.17)
C1 = 1 − 1
dk
π
|ckl| 2 〈φkl| ˆ PL|φkl〉 (5.18)
Haciendo las mismas consideraciones sobre (5.14) obtenemos:
l
〈ˆx 2 〉t = C2t 2 (+términos oscilatorios) + O(t) (5.19)
C2 = 1 − 2
π
dk
|ckl| 2 〈φkl| ˆ PL|φkl〉〈φkl| ˆ PR|φkl〉 (5.20)
l