Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 5. CAMINATA ACOPLADA A PANADERO 53
5.1. Panadero como Ambiente de la Caminata
Supongamos al sistema moneda en un espacio de Hilbert de dimensión N. Se definen ˆ PR y ˆ PL
proyectores ortogonales en el espacio de la moneda tal que ˆ PR+ ˆ PL = 1 y T r( ˆ PL) = T r( ˆ PR) = N
2 .
El operador ˆ M es el que define la evolución de la moneda antes de ser proyectada (en el caso de
la Caminata Hadamard ˆ M = ˆ H). Entonces un paso de la caminata general queda definido por
el operador unitario
Ê ≡ ( Û ⊗ ˆ PR + Û † ⊗ ˆ PR)(ˆ1 ⊗ ˆ M) (5.1)
donde Û es la traslación espacial sobre el caminante.
Si escribimos el estado inicial como producto tensorial entre el caminante (en base de momentos)
y la moneda, la evolución se puede expresar como
Ê
ck|k〉 ⊗ |Φ〉 =
ck|k〉 ⊗ ˆ Mk|Φ〉 (5.2)
donde ˆ Mk actúa solamente sobre el espacio de la moneda,
k
k
ˆMk ≡ (e −ik ˆ PR + e ik ˆ PL) ˆ M (5.3)
Hasta aquí el procedimiento para acoplar una moneda a la caminata es totalmente general.
En el caso del caminante acoplado al panadero, los proyectores son gobernados por el estado
del qubit más significativo del mapa (la moneda propiamente dicha) y la evolución ˆ M es alguno
de los mapas del panadero ˆ Bl,n:
ˆMk = (e −ik |0〉MSB〈0| + e ik |1〉MSB〈1|) ˆ Bl,n =
e −ik 0
0 e ik
También se puede representar en forma de circuito como una traslación del caminante controlada
por el qubit más significativo del Panadero:
Ambiente
l-1
dim N/2 = 2
Moneda
MSB
Caminante
dim M
B l,n
Figura 5.1: Circuito del caminante cuántico acoplado al mapa del panadero. El bit más significativo del
panadero controla una traslación del caminante.
La distribución de probabilidades del caminante viene dada por
U
ˆBl,n
(5.4)
p(x, t) = 〈Ψ|(|x〉〈x| ⊗ ˆ1)|Ψ〉 (5.5)