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CAPÍTULO 2. CAMINATA CUÁNTICA 20
2.2.1. Resolución de Caminata Cuántica en la Línea
La Caminata cuántica en la línea infinita fue resuelta exactamente por Nayak y Vishwanath
[5] utilizando el siguiente procedimiento:
Se describe el estado total de caminante y moneda con un espinor
Ψ0(n, t)
Ψ(n, t) =
donde se indica la amplitud de la función de onda en el sitio n a tiem-
Ψ1(n, t)
po t con espín hacia arriba (componente superior) o con espín hacia abajo (componente inferior).
La evolución del sistema puede describirse mediante la siguiente ecuación de balance:
Ψ(n, t + 1) =
0 0
Ψ(n − 1, t) +
√2 1
Ψ(n + 1, t) (2.5)
√1 −
2 1 √
2
1
√ 2
0 0
= M+Ψ(n − 1, t) + M−Ψ(n + 1, t) (2.6)
Para resolver esta ecuación, es útil introducir la transformada de Fourier:
|k〉 =
∞
n=−∞
con k ∈ [−π, π] y la transformada de Fourier inversa:
e ikn |n〉 (2.7)
Ψ(k, ˜ t) =
e ikn Ψ(n, t) (2.8)
|n〉 =
π
Por lo tanto, la ecuación 2.6 puede rescribirse como:
donde
−π
n
dk
2π e−ikn |k〉 (2.9)
˜Ψ(k, t + 1) =
[M+Ψ(n − 1, t) + M−Ψ(n + 1, t)]e ikn
De esta manera se puede llegar a la siguiente expresión:
n
(2.10)
= (e ik M+ + e −ik M−) ˜ Ψ(k, t) (2.11)
˜Ψ(k, t) = M t k ˜ Ψ(k, 0) (2.12)
Mk = e ik M+ + e −ik M− = 1 √ 2
e −ik e −ik
e ik −e ik
(2.13)
Este procedimiento permite reducir el problema a hallar los autovectores y autovalores de
˜Mk y a escribir el estado inicial ˜ Ψ(k, 0) en la base de autovectores.
Mk = λ 1 k|Φ 1 k〉〈Φ 1 k| + λ 2 k|Φ 2 k〉〈Φ 2 k| (2.14)
donde los autovalores pueden escribirse como λ1 k = e−iωk y λ2 k = −eiωk, y ωk es definido como
un ángulo en [− π π
2 , 2 ], tal que, sin(ωk) = sin(k)
√ .
2