Familia de Mapas del Panadero Como Ambiente Caótico de la ...

CAPÍTULO 1. UNIVERSO CUÁNTICO 15
Como habíamos dicho, la función de Wigner tiene toda la información que posee la matriz
densidad. La matriz densidad se recupera a partir de la función de Wigner y los operadores de
punto:
ρ = N
W (q, p)A(q, p) (1.30)
(q,p)
En este trabajo utilizaremos la tercer propiedad de las Wigner para calcular distribuciones
de probabilidades. En espacio discreto, al sumar sobre las filas (p = cte) o columnas (q = cte),
obtenemos
P (k = k0) =
P (n = n0) =
N−1
n=0
N−1
k=0
W (n, k0) (1.31)
W (n0, k) (1.32)
Es posible calcular W (q, p) analíticamente para un estado posición ρ = |q0〉〈q0|.
1
Wq0 (q, p) =
2N 〈q0|U q RV −p π
i
|q0〉e N qp
= 1
2N δN(q − 2q0)(−1) p(q−2q0)
siendo δN la delta discreta periódica definida como δN(q) = 1 N−1 N n=0 ei2πqn/N .
Esto se puede representar en el espacio de fases con el siguiente gráfico:
(1.33)
(1.34)
Figura 1.2: Función de Wigner de un autoestado de la posición en |n〉 = 8 en un espacio de Hilbert de
dimensión 32. La función es real y toma valores positivos (en rojo) y negativos (en verde).
Claramente, las probabilidades de medir q0 = 8 es 1, y las de medir q = q0 son nulas. La
línea vertical punteada (en n = 24) proviene de la interferencia de la línea positiva (en n = 8)
consigo misma, debido a que el espacio de fases es un toro.
En la figura se grafican las funciones de Wigner de dos estados posición. Para la mezcla
estadística sólo aparecen las dos posiciones con sus respectivas interferencias debido al espacio
toroidal. En el caso de superposición coherente también hay una línea de interferencia localizada